Question

1．如圖中的AOB是游樂場中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個半徑都是R的$\frac{1}{4}$圓周連接而成，它們的圓心O₁、O₂與兩圓弧的連接點O在同一豎直線上．O₂B沿水池的水面．一小滑塊可由弧AO的任意點從靜止開始下滑． 
（1）若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應(yīng)在圓弧AO上的何處？（用該處到O₁的連線與豎直線的夾角表示）．
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到O₂的距離如何？

Answer 1

分析 （1）如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點為P₁，離開點為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，設(shè)其為θ，若離開滑道時的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是$m\frac{{v}^{2}}{R}=mgcosθ$，結(jié)合機械能守恒即可求解．
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，離開軌道后做平拋運動，先求出最小速度，再根據(jù)平拋運動的規(guī)律進行討論即可求解；

解答 解：（1）如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點為P₁，離開點為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，
設(shè)其為θ，若離開滑道時的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是$m\frac{{v}^{2}}{R}=mgcosθ$
由機械能守恒 2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
聯(lián)立解得 cosθ=$\frac{4}{5}$
（2）設(shè)滑塊剛能在O點離開滑道的條件是　
mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，v₀為滑塊到達O點的速度，由此得v₀=$\sqrt{gR}$，設(shè)到達O點的速度為v₀的滑塊在滑道OA上的出發(fā)點到O₁的連線與豎直夾角為θ₀，由機械能守恒，有mgR（1-cosθ₀）=$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立兩式解得θ₀=$\frac{π}{3}$
若滑塊到達O點時的速度V＞V₀，則對OB滑道來說，因O點可能提供的最大向心力為mg，故滑塊將沿半徑比R大的圓周的水平切線方向離開O點．對于V＞V₀的滑塊，其在OA上出發(fā)點的位置對應(yīng)的θ角必大于θ₀，即θ＞θ₀，由于θ_max=$\frac{π}{2}$，根據(jù)機械能守恒，到達O點的最大速度v_max=$\sqrt{2gR}$，由此可知，能從O點離開滑道的滑塊速度是v₀到v_max之間所有可能的值，
也就是說，θ從$\frac{π}{3}$至$\frac{π}{2}$下滑的滑塊都將在O點離開滑道．以速度v₀從O點沿水平方向滑出滑道的滑塊，其落水點至O₂的距離x₀=V₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立解得：x₀=$\sqrt{2}$R，當(dāng)滑塊以v_max從O點沿水平方向滑出滑道時，其落水點到O₂的距離x_max=v_maxt，解得x_max=2R；
因此，凡能從O點脫離滑道的滑塊，其落水點到O2的距離在$\sqrt{2}$R到2R之間的所有可能值．　　
即：$\sqrt{2}R$≤x≤2R
答：（1）小滑塊開始下滑時應(yīng)在圓弧AO上的 cosθ=$\frac{4}{5}$處
（2）凡能在O點脫離滑道的小滑塊，其落水點到O₂的距離范圍為$\sqrt{2}R$≤x≤2R；

點評 該題主要考查了動能定理、向心力公式、平拋運動的規(guī)律及機械能守恒定律，綜合性較強，難度較大．要注意正確分析物理過程，做好受力分析才能正確選擇物理規(guī)律求解．