Question

13．如圖所示，a、b為環(huán)繞某紅矮星運動的行星，a行星的運行軌道為圓軌道，b行星的運行軌道為橢圓軌道，兩軌道和紅矮星都在同一平面內．已知a行星的公轉周期為18天，則下列說法正確的是（　　）

• A． b行星的公轉周期大于18天
• B． b行星在軌道上運行的最大速度小于a行星的速度
• C． 若已知b行星軌道半長軸，可求得紅矮星的密度
• D． 若已知a行星的軌道半徑，可求得紅矮星的質量

Answer 1

分析 根據開普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=K$分析周期，根據萬有引力提供向心力可以求紅矮星質量．

解答 解：A、根據開普勒第三定律$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=K$，因為a行星的軌道半徑比b行星的橢圓軌道的半長軸大，所以a行星的周期大．故A錯誤．
B、b行星近地點的速度最大，大于過近地點的圓軌道速度，而過近地點的圓軌道速度大于a行星的速度，所以b行星的最大速度大于a行星的速度，故B錯誤、
C、僅知道b行星軌道半長軸，不知道a行星的半徑，求不出紅矮星的質量，無法求得密度，故C錯誤
D、根據$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，已知a的周期和軌道半徑，可以求紅矮星的質量，故D正確
故選：D

點評 本題關鍵是明確行星圓周運動的向心力來源，結合開普勒定律、萬有引力定律、牛頓第二定律列式分析，不難．