Question

18．如圖所示，質(zhì)量為m₃=2kg的滑道靜止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半徑為R=0.3m的四分之一圓弧，圓弧底部與滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一個(gè)輕彈簧．滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑．質(zhì)量為m₂=3kg的物體2（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在滑道的B點(diǎn)，現(xiàn)讓質(zhì)量為m₁=1kg的物體1（可視為質(zhì)點(diǎn)）自A點(diǎn)由靜止釋放．兩物體在滑道上的C點(diǎn)相碰后粘為一體（g=10m/s²）．求：
（1）物體1從釋放到與物體2相碰的過程中，滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）若CD=0.2m，兩物體與滑道的CD部分的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=0.15，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能；
（3）物體1、2最終停在何處．

Answer 1

分析 （1）物體1從釋放到與物體2相碰前的過程中，物體2由于不受摩擦，靜止不動(dòng)．系統(tǒng)水平不受外力，動(dòng)量守恒，用位移與時(shí)間的比值表示平均速度，根據(jù)動(dòng)量守恒列式求出滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）物體1從釋放到與物體2相碰前的過程中，系統(tǒng)中只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒列式，可求出物體1、2碰撞前兩個(gè)物體的速度；物體1、2碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物體1、2向右運(yùn)動(dòng)，滑道向左運(yùn)動(dòng)，彈簧第一次壓縮最短時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒得知，物體1、2和滑道速度為零，此時(shí)彈性勢(shì)能最大．根據(jù)能量守恒定律求解在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能．
（3）根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列式，即可求出物體1、2相對(duì)滑道CD部分運(yùn)動(dòng)的路程s，從而確定出物體1、2最終停在何處．

解答 解：（1）m₁從釋放到與m₂相碰撞過程中，m₁、m₃組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，
設(shè)m₁水平位移大小s₁，m₃水平位移大小s₃，則有0=m₁$\frac{{s}_{1}}{t}$-m₃$\frac{{s}_{3}}{t}$
得  0=m₁s₁-m₃s₃ 
其中  s₁=R-s₃
可以求得s₃=$\frac{{m}_{1}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}$═$\frac{{m}_{1}{s}_{1}}{{m}_{3}}$=$\frac{1×0.3}{1+2}$=0.1m  
（2）設(shè)m₁、m₂ 剛要相碰時(shí)物體1的速度v₁，滑道的速度為v₃，由機(jī)械能守恒定律有
m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²
由動(dòng)量守恒定律有0=m₁v₁-m₃v₃
設(shè)物體1和物體2相碰后的共同速度為v₂，由動(dòng)量守恒定律有
m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
彈簧第一次壓縮最短時(shí)由動(dòng)量守恒定律可知物體1、2和滑道速度為零，此時(shí)彈性勢(shì)能最大．
設(shè)為E_pm．從物體1、2碰撞后到彈簧第一次壓縮最短的過程中，由能量守恒有
$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²-μ（m₁+m₂）g$\overline{CD}$=E_pm
聯(lián)立以上方程，代入數(shù)據(jù)可得，E_pm=0.3J
（3）分析可知物體1、2和滑道最終將靜止，設(shè)物體1、2相對(duì)滑道CD部分運(yùn)動(dòng)的路程為s，由能量守恒有
$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{3}{v}_{3}^{3}=μ（{m}_{1}+{m}_{2}）gs$
帶入數(shù)據(jù)可得：s=0.25m
所以m₁、m₂最終停在D點(diǎn)左端離D點(diǎn)距離為0.05m處
答：（1）物體1從釋放到與物體2相碰的過程中，滑道向左運(yùn)動(dòng)的距離是0.15m；
（2）若CD=0.2m，兩物體與滑道的CD部分的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=0.15，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能是0.3J；
（3）物體1、2最終停在D點(diǎn)左端離D點(diǎn)距離為0.05m處．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．