Question

19．萬有引力定律揭示了天體運動規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內在的一致性．
（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果，已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G，將地球視為半徑為R，質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響，設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F₀．
a．若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₁，求比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式，并就h=1，0%R的情形算出具體數(shù)值（計算結果保留兩位有效數(shù)字）；
b．若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式．
（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑r，太陽的半徑R₁和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式，并求出具體的數(shù)值．
在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽半徑的關系，從而進行判斷．

解答 解：（1）a．在地球北極點不考慮地球自轉，則彈簧秤所稱得的重力為其萬有引力，即：${F_0}=G\frac{Mm}{R^2}$…①
且${F_1}=G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}$…②
由①②可得：$\frac{F_1}{F_0}={（{\frac{R}{R+h}}）^2}={（{\frac{1}{1+0.01}}）^2}=0.98$
即：F₁=0.98 F₀
b．在赤道上稱重時，萬有引力的一部分提供物體做圓周運動的向心力，于是有：
${F_2}=G\frac{Mm}{R^2}-m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$…③
由①③可得：$\frac{F_1}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$
（2）設太陽質量為M，地球質量為M′，則有：$G\frac{MM'}{r^2}=M'\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
即地球公轉周期為：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GM}}$
而太陽質量為：$M=\frac{{4π{R_S}^3}}{3}ρ$
其中ρ為太陽密度，則地球公轉周期為：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GM}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}•\frac{r^3}{{{R_S}^3}}}$
從上式可以看出，當公轉半徑和太陽半徑均減小為現(xiàn)在的1.0%時，地球公轉周期不變，即仍為1地球年．
答：（1）a、比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式是$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$（\frac{R}{R+h}）^{2}$，h=1.0%R的情形時，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$是0.98；
b．若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式為 $\frac{F_1}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$．
（2）“設想地球”的一年仍為1地球年．

點評 解決本題的關鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉所需的向心力．