Question

19．萬(wàn)有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．
（1）用彈簧秤稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果，已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G，將地球視為半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響，設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F₀．
a．若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₁，求比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式，并就h=1，0%R的情形算出具體數(shù)值（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
b．若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式．
（2）設(shè)想地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑r，太陽(yáng)的半徑R₁和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽(yáng)和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽(yáng)和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式，并求出具體的數(shù)值．
在赤道，由于萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽(yáng)半徑的關(guān)系，從而進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）a．在地球北極點(diǎn)不考慮地球自轉(zhuǎn)，則彈簧秤所稱得的重力為其萬(wàn)有引力，即：${F_0}=G\frac{Mm}{R^2}$…①
且${F_1}=G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}$…②
由①②可得：$\frac{F_1}{F_0}={（{\frac{R}{R+h}}）^2}={（{\frac{1}{1+0.01}}）^2}=0.98$
即：F₁=0.98 F₀
b．在赤道上稱重時(shí)，萬(wàn)有引力的一部分提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，于是有：
${F_2}=G\frac{Mm}{R^2}-m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$…③
由①③可得：$\frac{F_1}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$
（2）設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為M′，則有：$G\frac{MM'}{r^2}=M'\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
即地球公轉(zhuǎn)周期為：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GM}}$
而太陽(yáng)質(zhì)量為：$M=\frac{{4π{R_S}^3}}{3}ρ$
其中ρ為太陽(yáng)密度，則地球公轉(zhuǎn)周期為：$T=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{GM}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}•\frac{r^3}{{{R_S}^3}}}$
從上式可以看出，當(dāng)公轉(zhuǎn)半徑和太陽(yáng)半徑均減小為現(xiàn)在的1.0%時(shí)，地球公轉(zhuǎn)周期不變，即仍為1地球年．
答：（1）a、比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式是$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$（\frac{R}{R+h}）^{2}$，h=1.0%R的情形時(shí)，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$是0.98；
b．若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式為 $\frac{F_1}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$．
（2）“設(shè)想地球”的一年仍為1地球年．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的兩極，萬(wàn)有引力等于重力，在赤道，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．