Question

18．如圖所示，豎直平面（紙面）內(nèi)有平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸沿水平方向．在x＞-L的區(qū)域有垂直平面向里的勻強(qiáng)磁場，在-L＜x＜O的區(qū)域有場強(qiáng)大小為E、方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場．有一個(gè)帶正電的小球由A（-2L，O）點(diǎn)沿x軸正方向水平拋出，從R點(diǎn)進(jìn)入-L＜x＜O區(qū)域并沿直線RQ運(yùn)動(dòng)到Q（O，-$\frac{3L}{2}$）點(diǎn)．在x＞O的區(qū)域有另一勻強(qiáng)電場，小球經(jīng)過Q點(diǎn)后恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)并打在P點(diǎn)的標(biāo)靶上．已知重力加速度為g，試求：
（1）RQ與x軸正方向的夾角θ和初速度v₀．
（2）小球的比荷$\frac{q}{m}$和勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到標(biāo)靶P所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）小球開始時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解即可求出小球的末速度與x軸之間的夾角關(guān)系，然后畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出；
（2）帶電小球在x＜0的區(qū)域內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分析受力情況，由平衡條件判斷小球的比荷和磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）分段求時(shí)間，勻速直線運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)位移和速率求解；勻速圓周運(yùn)動(dòng)過程，畫出軌跡，根據(jù)軌跡的圓心角求時(shí)間．

解答 解：（1）小球在開始時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：
L=v₀t₁
豎直方向設(shè)豎直方向的最大速度為v_y，則：
v_y=gt₁，${y}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{y}•{t}_{1}$
小球在電場中的偏轉(zhuǎn)角θ，則：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
小球在-L≤x≤0的區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{x}}=\frac{L}{{v}_{0}}={t}_{1}$
y方向的位移：y₂=v_y•t₁
小球在豎直方向的總位移：y=y₁+y₂=$\frac{3}{2}L$
聯(lián)立以上方程得：${t}_{2}={t}_{1}=\sqrt{\frac{L}{g}}$，θ=45°，${v}_{0}=\sqrt{gL}$   ①
（2）小球在-L≤x≤0的區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受到重力、電場力和洛倫茲力的作用，合力為0，如圖：
則：$tanθ=\frac{qE}{mg}$
得：$\frac{q}{m}=\frac{gtanθ}{E}=\frac{g}{E}$
小球做直線運(yùn)動(dòng)的速度：$v=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}$
則小球受到的洛倫茲力：f=qvB=$\frac{mg}{cos45°}$
所以：$B=\frac{mg}{qv•cos45°}=\frac{E}{{v}_{0}}=\frac{E}{\sqrt{gL}}$   ②
（3）由圖可知，小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{3}{4}$圓周，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{3}{4}T$
洛倫茲力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{3π{v}_{0}}{2g}$=$\frac{3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$③
小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{L}{g}}+\sqrt{\frac{L}{g}}+\frac{3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$=$\frac{4+3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$   ④
答：（1）RQ與x軸正方向的夾角θ是45°，初速度是$\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（2）小球的比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B是$\frac{E}{\sqrt{gL}}$．
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到標(biāo)靶P所經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{4+3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電體在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的類型，分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出軌跡，由幾何知識(shí)確定圓心角是求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)鍵．