Question

【題目】如圖所示，在水平桌面上放有長(zhǎng)木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計(jì)，剛開(kāi)始A、B之間和B、P之間的距離皆為L。設(shè)木板C與桌面之間無(wú)摩擦，A、C之間和B、C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力；A、B、C（連同擋板P）的質(zhì)量相同．開(kāi)始時(shí)，B和C靜止，A以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)．假設(shè)所有的碰撞都是彈性正碰。

（1）若物塊A與B恰好發(fā)生碰撞，求A的初速度；

（2）若B與擋板P恰好發(fā)生碰撞，求A的初速度；

（3）若最終物塊A從木板上掉下來(lái)，物塊B不從木板C上掉下來(lái)，求A的初速度的范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運(yùn)動(dòng)到物塊所在處時(shí)，與的速度大小相等．因?yàn)槲飰K與木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度均相同，設(shè)為，由動(dòng)量守恒定律得

在此過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

解得

故與恰好發(fā)生碰撞的條件是：

（2）物塊、發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度保持不變．因?yàn)槲飰K、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有

若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速度從板板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板所在處時(shí)，與的速度相等．因與的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度為．根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：

整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問(wèn)的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

解得

即物塊的初速度時(shí)，與剛好發(fā)生碰撞

（3） 若恰好沒(méi)從木板上掉下來(lái)，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有：

從以初速度在木板的左端開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)與相碰，直到剛沒(méi)從木板的左端掉下來(lái)，這一整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒(méi)從木板上掉下來(lái)，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于

內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

得

故從上掉下的條件是

設(shè)剛要從木板上掉下來(lái)時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有 ，此時(shí)有

當(dāng)物塊從木板上掉下來(lái)后，若物塊剛好不會(huì)從木板上掉下，即當(dāng)的左端趕上時(shí)，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對(duì)、這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由動(dòng)量守恒定律，有

在此過(guò)程中，對(duì)這一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得

解得

故物塊不從木板上掉下來(lái)的條件是;

綜上所述，A的初速度范圍是