Question

8．如圖所示，光滑的水平導(dǎo)軌MN右端N處與水平傳送帶理想連接，傳送帶水平長(zhǎng)度L=0.8m，皮帶以恒定定速率v逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)．傳送帶的右端平滑連接著一個(gè)固定在豎直平面內(nèi)、半徑為R=0.4m的光滑半圓軌道PQ；質(zhì)量為m=0.4kg，且可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊A置于水平導(dǎo)軌MN上，開(kāi)始時(shí)滑塊A與墻壁之間有一壓縮的輕彈簧，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)松開(kāi)滑塊A，彈簧伸展，滑塊脫離彈簧后滑上傳送帶，從右端滑出并沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)，恰好經(jīng)最高點(diǎn)Q．已知滑塊A與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，取g=10m/s²．求：
（1）滑塊經(jīng)半圓軌道最高點(diǎn)Q后，落在傳送帶上的位置到P點(diǎn)的距離？
（2）滑塊A在半圓軌道P處對(duì)軌道的壓力；
（3）壓縮的輕彈簧的彈性勢(shì)能E_P．

Answer 1

分析 （1）滑塊恰好經(jīng)最高點(diǎn)Q，在Q點(diǎn)，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解Q點(diǎn)的速度；滑塊A從Q處飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可；
（2）滑塊A從P運(yùn)動(dòng)到Q過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，即可求出它經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度，在P點(diǎn)由重力和支持力的合力提供其向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解滑塊A在半圓軌道P處對(duì)軌道的壓力；
（3）根據(jù)滑塊A到達(dá)P點(diǎn)的速度與傳送帶速度的關(guān)系，分析滑塊A在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，由牛頓牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出滑塊A在彈簧伸展后的速度．由能量守恒定律與動(dòng)能定理可求解壓縮的輕彈簧的彈性勢(shì)能E_p．

解答 解：（1）由題意可知，物塊在Q點(diǎn)滿(mǎn)足：
mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$　　     　   
解得：
${v}_{Q}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}=2m/s$
滑塊B從Q飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
h=2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：
t=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=\sqrt{\frac{2×2×0.4}{10}}$=0.4s
x=v_Qt=2×0.4=0.8m　
（2）滑塊B從P運(yùn)動(dòng)到Q過(guò)程中滿(mǎn)足機(jī)械能守恒，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$ 　　  　　                         
在P點(diǎn)由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$　    　                
聯(lián)立以上兩式得：
N=24N
由牛頓第三定律得：
N′=N=24N                       
（3）皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)方向和滑塊A運(yùn)動(dòng)方向相反，A在皮帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊從N點(diǎn)到P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：
-μmg•L=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}$　
解得：
$\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}+μmgL$=$\frac{1}{2}×0.4×（{\sqrt{20}）}^{2}+0.25×0.4×10×0.8=4.8J$
彈簧松開(kāi)之后，其彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化成滑塊A的初動(dòng)能：
${E}_{P}=△{E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}=4.8J$
答：（1）滑塊經(jīng)半圓軌道最高點(diǎn)Q后，落在傳送帶上的位置到P點(diǎn)的距離為0.8m；
（2）滑塊A在半圓軌道P處對(duì)軌道的壓力為24N；
（3）壓縮的輕彈簧的彈性勢(shì)能為4.8J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合了牛頓運(yùn)動(dòng)定律、平拋運(yùn)動(dòng)、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律等多方面的知識(shí)，分析過(guò)程，把握解題規(guī)律是關(guān)鍵．難度適中．