Question

15．如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過(guò)極短的水平軌道（長(zhǎng)度忽略不計(jì)）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方高H處自由落下，從A點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運(yùn)動(dòng)（小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)無(wú)機(jī)械能損失）．當(dāng)小球通過(guò)CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)的速度大小為10$\sqrt{5}$m/s，取g為10m/s²．
（1）試求高度H的大��；
（2）試求小球通過(guò)CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的多少倍；
（3）試討論此球能否到達(dá)CDO軌道的最高點(diǎn)O，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出高度H的大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出最低點(diǎn)C小球所受的支持力大小，從而通過(guò)牛頓第三定律求出壓力的大小．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出O點(diǎn)的速度，結(jié)合O點(diǎn)的臨界速度大小判斷能否到達(dá)最高點(diǎn)O．

解答 解：（1）P到C過(guò)程，由機(jī)械能守恒：$mg（H+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，解得：H=10m．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得N=$\frac{23}{3}mg$，
在C點(diǎn)對(duì)軌道的壓力等于重力的$\frac{23}{3}$倍，由牛頓第三定律得，在C點(diǎn)軌道
對(duì)小球的支持力大小為$\frac{23}{3}$mg．

（3）設(shè)小球能到達(dá)O點(diǎn)，由P到O，機(jī)械能守恒，到O點(diǎn)的速度v₂：
$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得     ${v}_{2}=\sqrt{2gH}=\sqrt{20g}$．
設(shè)小球能到達(dá)軌道的O點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₀，則
mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得  v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{\frac{15g}{2}}$，
v₂＞v₀   所以小球能夠到達(dá)O點(diǎn)．
答：（1）高度H的大小為10m．
（2）小球通過(guò)CDO軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的$\frac{23}{3}$倍．
（3）小球能夠到達(dá)O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及最高點(diǎn)的臨界情況，難度中等．