Question

9．有一宇宙飛船到了某行星上（該行星沒有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)），以速度v接近行星赤道表面勻速飛行，測(cè)出運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知引力常量為G，則可得（　　）

• A． 該行星的半徑為$\frac{vT}{π}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． 該行星的質(zhì)量為$\frac{{v}^{3}T}{πG}$
• D． 該行星表面的重力加速度為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 飛船繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力，知道該飛船的軌道半徑與行星半徑近似相等，由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)展開討論即可．

解答 解：A、據(jù)題知，該飛船的軌道半徑與行星半徑近似相等，設(shè)為r．根據(jù)線速度與周期的關(guān)系知 v=$\frac{2πr}{T}$可知，該行星的半徑 r=$\frac{vT}{2π}$，故A錯(cuò)誤；
BC、根據(jù)萬有引力提供向心力，有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²可知，行星的質(zhì)量 M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，該行星的平均密度為 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故B正確；
C、由B知行星的質(zhì)量可以表示為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，又由A知行星半徑為：r=$\frac{vT}{2π}$，聯(lián)立可得 M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故C錯(cuò)誤；
D、由于該飛船接近行星赤道表面勻速飛行，所以該行星表面的重力加速度等于飛船的向心加速度，為 a=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{v}^{2}}{\frac{vT}{2π}}$=$\frac{2πv}{T}$．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 知道圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與周期的關(guān)系，能根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力推導(dǎo)出描述圓周運(yùn)動(dòng)物理量的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．