Question

18．野外鉆探作業(yè)時(shí)要將一質(zhì)量可忽略不計(jì)的堅(jiān)硬薄底座送到井底，其過程可以等效為下面的模型：在兩端開口、粗糙程度相同且豎直放置的圓筒頂端有一個(gè)質(zhì)量不計(jì)的活塞A，重錘B的質(zhì)量m=l0kg，下端連有勁度系數(shù)k=1000N/m的輕質(zhì)彈簧，先將重錘B放置在A上，發(fā)現(xiàn)A不動(dòng)；然后在B上逐漸增加物塊，當(dāng)物塊質(zhì)量達(dá)到l0kg時(shí)，觀察到A開始緩慢下沉．現(xiàn)將B提升至彈簧下端距圓筒頂端H=5m處，自由釋放重錘B，發(fā)生撞擊后當(dāng)A剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，將彈簧鎖定，以后毎次都把重錘B提升至彈簧下端距圓筒頂端5m處自由釋放，且活塞A剛好要滑動(dòng)時(shí)都將彈簧鎖定．（不計(jì)空氣阻力，活塞A與圓筒間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取l0m/s²．彈簧的彈性勢(shì)能E_P=$\frac{1}{2}$kx²）
（1）求活塞A緩慢下沉?xí)r與圓筒間的摩擦力大小f；
（2）求活塞A第一次剛要下沉?xí)r重錘B的速度v₁和活塞A第一次被撞擊后下沉的最大距離h₁分別為多大；
（3）若第3次撞擊后，底座A恰能到達(dá)井底，求井深H．

Answer 1

分析 （1）活塞A緩慢下沉?xí)r與圓筒間的摩擦力等于B與物塊的總重力．
（2）活塞A第一次剛要下沉?xí)r重錘B和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由胡克定律求出彈簧的壓縮量，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求速度v₁．發(fā)生撞擊后當(dāng)A剛好發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，將彈簧鎖定，A、B一起向下減速至速度為零，對(duì)該過程運(yùn)用動(dòng)能定理求活塞A第一次被撞擊后下沉的最大距離h₁．
（3）對(duì)A從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到A、B靜止的全過程，運(yùn)用功能關(guān)系求出活塞A第二次被撞擊后下沉的最大距離h₂，用同樣的方法求活塞A第三次被撞擊后下沉的最大距離h₃，即可求得井深H．

解答 解：（1）A剛要開始緩慢滑動(dòng)時(shí)，摩擦力等于重力，即：
f=（m+m₀）g=（10+10）×10N=200N
（2）設(shè)活塞A剛要下滑時(shí)，彈簧的壓縮量為x，則有：
f=kx
解得：x=0.2m
對(duì)彈簧和重錘B系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有：
mg（H+x）=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=10m/s
由于彈簧鎖定，此后A、B一起向下減速至速度為零，對(duì)該過程，由動(dòng)能定理得
mgh₁-fh₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：h₁=5m
（3）設(shè)重錘B第二次撞擊使A下降的距離為h₂．對(duì)A從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到A、B靜止的全過程，由功能關(guān)系得：
mg（H+x+h₁+h₂）=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$+fh₂；
解得：h₂=10m
設(shè)重錘B第三次撞擊使A下降的距離為h₂．再次對(duì)A從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到A、B靜止的全過程，由功能關(guān)系得：
mg（H+x+h₁+h₂+h₃）=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$+fh₃；
解得：h₃=20m
所以井深為：H=h₁+h₂+h₃=35m
答：（1）活塞A緩慢下沉?xí)r與圓筒間的摩擦力大小f是200N；
（2）活塞A第一次剛要下沉?xí)r重錘B的速度v₁是10m/s，活塞A第一次被撞擊后下沉的最大距離h₁為5m；
（3）若第3次撞擊后，底座A恰能到達(dá)井底，井深H是35m．

點(diǎn)評(píng) 本題要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，判斷出能量的轉(zhuǎn)化情況，在涉及力在空間效果時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理或功能關(guān)系求距離，這是常用的方法和思路，要能熟練運(yùn)用．