Question

20．在海濱游樂(lè)場(chǎng)有一種滑沙的娛樂(lè)活動(dòng)．如圖所示，人坐在滑板上從斜坡的高處A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，滑到斜坡底部B點(diǎn)后沿水平滑道再滑行一段距離到C點(diǎn)停下來(lái)，斜坡滑道與水平滑道間是平滑連接的，滑板與兩滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²．
（1）若斜坡傾角θ=37°，人和滑板的總質(zhì)量為m=60kg，求人在斜坡上下滑時(shí)的加速度大小．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（2）若斜坡高H=30m，傾角θ=37°，人和滑板的總質(zhì)量為m=60kg，斜坡，則人和滑板在BC面上的滑行的位移有多大？
（3）若由于受到場(chǎng)地的限制，A點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離為s=50m，為確保人身安全，斜坡滑的高度不應(yīng)超過(guò)多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)人與滑板進(jìn)行受力分析，求得合外力，再應(yīng)用牛頓第二定律求得加速度；
（2）根據(jù)（1）求得剛滑到水平面上時(shí)的速度，然后對(duì)人與滑板在水平面上的受力進(jìn)行分析，求得合外力，進(jìn)而得到加速度，再由勻減速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得位移；
（3）分析在斜面和水平面上的受力情況，求得加速度，然后求解滑到水平面上時(shí)的速度，進(jìn)而得到水平位移，然后由兩部分的水平位移不大于s求解斜坡高度．

解答 解：（1）在斜坡上下滑時(shí)，人和滑板受重力、支持力和摩擦力作用，由垂直斜面方向受力平衡可得：支持力F_N=mgcos37°=60×10×0.8N=480N；
所以，人和滑板在沿斜面方向上收到的合外力F=mgsinθ-f=mgsinθ-μF_N=60×10×0.6-0.5×480（N）=120N；
由牛頓第二定律可得：人在斜坡上下滑時(shí)的加速度大小$a=\frac{F}{m}=2m/{s}^{2}$；
（2）由（1）可知：在斜面上a=2m/s²；那么人與滑板滑到水平面時(shí)的速度$v=\sqrt{2as}=\sqrt{\frac{2aH}{sin37°}}=\sqrt{\frac{2×2×30}{0.6}}m/s=10\sqrt{2}m/s$；
人與滑板在BC面上滑行時(shí)受到的合外力為摩擦力，即F′=f=μmg，那么加速度$a′=\frac{F′}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，所以，人和滑板在BC面上的滑行的位移$s=\frac{{v}^{2}}{2a}=20m$；
（3）設(shè)斜坡傾角為α，斜坡的最大高度為h，那么加速度${a}_{1}=\frac{{F}_{1}}{m}=\frac{mgsinα-μmgcosα}{m}=（sinα-0.5cosα）g$；滑至底端時(shí)的速度${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}•\frac{h}{sinα}}$；
沿BC段前進(jìn)時(shí)的加速度不變，仍為a′=5m/s²；那么沿BC段滑行的距離$L=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a′}=2h\frac{sinα-0.5cosα}{sinα}$=$2h-\frac{h}{tanα}$；
為確保安全要求，則$s≥L+\frac{h}{tanα}=（2h-\frac{h}{tanα}）+\frac{h}{tanα}=2h$；
所以，$h≤\frac{1}{2}s=25m$，故斜坡的高度不應(yīng)超過(guò)25m．
答：（1）若斜坡傾角θ=37°，人和滑板的總質(zhì)量為m=60kg，則人在斜坡上下滑時(shí)的加速度大小為2m/s²；
（2）若斜坡高H=30m，傾角θ=37°，人和滑板的總質(zhì)量為m=60kg，斜坡，則人和滑板在BC面上的滑行的位移為20m；
（3）若由于受到場(chǎng)地的限制，A點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離為s=50m，為確保人身安全，斜坡滑的高度不應(yīng)超過(guò)25m．

點(diǎn)評(píng) 在求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力，然后根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解位移、速度等問(wèn)題．