Question

19．如圖所示（俯視），在豎直磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿y軸方向分布均勻，而沿x軸方向是變化的，且滿足B=ax．將電阻不計(jì)，間距為L，足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌水平固定于該磁場中，右端接一定值電阻R；另有電阻為r的導(dǎo)體棒PQ垂直橫跨于導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好．

（1）若導(dǎo)體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度v_t=$\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運(yùn)動(dòng)，求定值電阻R中電流的表達(dá)式；
（2）若導(dǎo)體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)，為了維持導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，需要加一個(gè)水平拉力F于棒的中點(diǎn)，求t時(shí)刻水平拉力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢，再根據(jù)歐姆定律求得電流；
（2）由安培定則求得安培力，再根據(jù)受力平衡得到拉力F．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，
任意時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)值$e=BL{v}_{t}=axL×\frac{{v}_{0}}{x}=aL{v}_{0}$，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得，定值電阻R中的電流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）在時(shí)間t內(nèi)，導(dǎo)體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)，所以導(dǎo)體棒PQ的位移x=v₀t，
導(dǎo)體棒PQ所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=ax=av₀t，
由法拉第電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢的瞬時(shí)值$e=BL{v}_{t}=a{v}_{0}t×L×{v}_{0}=aL{{v}_{0}}^{2}t$，
感應(yīng)電流的瞬時(shí)值$i=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}$，
所以，安培力${F}_{安}=BiL=a{v}_{0}t×\frac{aL{{v}_{0}}^{2}t}{R+r}×L=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$
對導(dǎo)體棒進(jìn)行受力分析，可知其在水平方向只受安培力和拉力，又有導(dǎo)體棒向右做勻速運(yùn)動(dòng)，
所以，由受力平衡可得：$F={F}_{安}=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．
答：（1）導(dǎo)體棒PQ從極靠近y軸（但不與y軸重合）的位置開始以速度${v}_{t}=\frac{{v}_{0}}{x}$向右變速運(yùn)動(dòng)，定值電阻R中電流$I=\frac{e}{R+r}=\frac{aL{v}_{0}}{R+r}$．
（2）導(dǎo)體棒PQ從與y軸重合的位置開始以速度v₀向右勻速運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻水平拉力$F=\frac{{a}^{2}{L}^{2}{{v}_{0}}^{3}{t}^{2}}{R+r}$．

點(diǎn)評 注意第二問最終F要用時(shí)間t來表示，不能用x表示．即求解的最終結(jié)果必須由題目中給出條件表示．