Question

4．如圖，固定光滑的$\frac{1}{4}$圓弧AB與水平地面相切，半徑為R．在空間存在平行紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)．帶電+q質(zhì)量為m小球從圓弧A點(diǎn)無(wú)初速度下滑，A點(diǎn)小球的加速度為2g，小球運(yùn)動(dòng)到圓弧最低點(diǎn)B時(shí)的速度為$\sqrt{2gR}$．已知小球與地面動(dòng)摩擦因數(shù)因數(shù)μ=0.5，重力加速度為g．求：
（1）小球從圓弧A點(diǎn)到B點(diǎn)電場(chǎng)力做的功．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向．
（3）小球從圓弧A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后小球增加最大電勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（2）根據(jù)做功得到電場(chǎng)強(qiáng)度方向，然后根據(jù)在A處的加速度，由牛頓第二定律得到電場(chǎng)強(qiáng)度大��；
（3）根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)方向求得最大位移，然后按電勢(shì)能的定義求解．

解答 解：（1）小球從A到B只有重力、電場(chǎng)力做功，那么由動(dòng)能定理得：$mgR+W=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$，所以，小球從圓弧A點(diǎn)到B點(diǎn)電場(chǎng)力做的功W=0J；
（2）小球受到的電場(chǎng)力恒定，又有W=0J，所以，AB是等勢(shì)面，電場(chǎng)的方向垂直AB；
A點(diǎn)小球的加速度為2g，故合外力為2mg，小球速度為零，那么小球的加速度沿切線(xiàn)方向，即加速度方向豎直向下，所以，合外力方向豎直向下，那么，由受力分析可知：
電場(chǎng)力在豎直方向的分量為mg，豎直向下；
所以，電場(chǎng)方向垂直AB，即與水平方向成45°，斜向右下方；且有qEsin45°=mg，所以，$E=\frac{\sqrt{2}mg}{q}$；
（3）由電場(chǎng)強(qiáng)度方向可知，小球沿水平面向左運(yùn)動(dòng)，電勢(shì)能增加，且位移和電勢(shì)能成正比；
小球在水平面上的合外力F=qEcos45°+μ（mg+qEsin45°）=2mg，那么，小球在水平面上做加速度a=2g的勻減速速度；
所以，小球在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移$S=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2a}=\frac{1}{2}R$；
那么，小球沿電場(chǎng)線(xiàn)反方向運(yùn)動(dòng)的位移$x=Scos45°=\frac{\sqrt{2}}{4}R$，
所以，小球從圓弧A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后小球增加最大電勢(shì)能${E}_{P}max=qEx=\sqrt{2}mg×\frac{\sqrt{2}}{4}R=\frac{1}{2}mgR$；
答：（1）小球從圓弧A點(diǎn)到B點(diǎn)電場(chǎng)力做的功為0；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$，方向與水平方向成45°，斜向右下方；
（3）小球從圓弧A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后小球增加最大電勢(shì)能為$\frac{1}{2}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．