Question

8．如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送 帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，且在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為10mg，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C點(diǎn)的距離為L=2.5R，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，重力加速度為g．求：
（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大�。�
（2）物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)．
（3）求物塊與滑板間因摩擦而產(chǎn)生的總熱量．

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解；
（2）從E到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解；
（3）滑塊滑上木板后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式判斷速度相當(dāng)時(shí)的位置關(guān)系，再根據(jù)摩擦力做功公式結(jié)合能量守恒求解．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，則有：
10mg-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=3\sqrt{gR}$
（2）從E到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mg•2R+$μmgs=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：μ=0.5
（3）滑塊滑上木板后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
對(duì)物塊由牛頓第二定律得：a₁=$\frac{μmg}{m}=5m/{s}^{2}$
對(duì)滑板由牛頓第二定律得：a₂=$\frac{μmg}{M}=2.5m/{s}^{2}$
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t滑板與物塊達(dá)到共同速度v時(shí)，位移分別為x₁、x₂，
v_B-a₁t=a₂t
${x}_{1}={v}_{B}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
聯(lián)立解得：x₁=2R，x₂=8R 
即物塊與滑板在達(dá)到共同速度時(shí)，物塊未離開滑板
則Q₁=μmg（x₂-x₁）
物塊與木板此后以共同速度勻速運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn) 滑板則不再運(yùn)動(dòng)，物塊繼續(xù)往前運(yùn)動(dòng)0.5R沖上圓弧，
Q₂=μmg•0.5R
物塊滑回來，由能量守恒可得
Q₃=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則總熱量Q=Q₁+Q₂+Q₃=3.5mgR  
答：（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為$3\sqrt{gR}$．
（2）物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5；
（3）求物塊與滑板間因摩擦而產(chǎn)生的總熱量位3.5mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．