Question

5．如圖所示的坐標(biāo)系中，在第二象限內(nèi)有寬度為l=0.2m，平行于y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限內(nèi)存在寬度為d=$\frac{{\sqrt{3}}}{5}$m，垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=1×10^-4T．現(xiàn)有一比荷為$\frac{q}{m}$=2×10¹¹C/kg的正離子，以某一速度從勻強(qiáng)電場(chǎng)邊界上的M點(diǎn)平行于x軸射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，此時(shí)速度與x軸的夾角θ=60°，離子通過(guò)磁場(chǎng)后剛好從A點(diǎn)射出．不計(jì)離子重力．
（1）求離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）若離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，某時(shí)刻再加一個(gè)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使離子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律明確粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可確定粒子運(yùn)動(dòng)半徑；再由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的速度；根據(jù)周期公式可確定粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（3）要使粒子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)增大磁感應(yīng)強(qiáng)度；由洛侖茲力充當(dāng)向心力可確定應(yīng)增加的磁場(chǎng)的大小和方向．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示；
則由幾何關(guān)系可知：R=$\frac{\frac6tusl3i{2}}{cos30°}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2×5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=0.2m；
則由洛侖茲力充當(dāng)向心力可知：
B₀qv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\frac{{B}_{0}qR}{m}$=1×10^-4×2×10¹¹×0.2=4×10⁶m/s；
粒子在磁場(chǎng)中的周期T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2×π×0.2}{4×1{0}^{6}}$=π×10^-5s；
則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{120}{360}$T=$\frac{π}{3}$×10^-5s；
（2）離子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t再次到達(dá)x軸上，離子沿垂直電場(chǎng)方向做速度為v₀的勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移為l₁，
l₁=v₀t
離子沿電場(chǎng)方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a，位移為l₂，
qE=ma
${l}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$．
由幾何關(guān)系可知：$tan60°=\frac{{l}_{2}}{{l}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：$t=\sqrt{3}×1{0}^{-7}$s．
（3）由qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$知，B越小，r越大，設(shè)離子在磁場(chǎng)中最大半徑為R，
由幾何關(guān)系得：$R=\frac{1}{2}（{r}_{1}-{r}_{1}sin30°）=0.05m$
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：${B}_{1}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
得：${B}_{1}=4×1{0}^{-4}T$
則外加磁場(chǎng)為：$△{B}_{1}=3×1{0}^{-4}T$．與原磁場(chǎng)方向相同．
答：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)B的速度v₀的大小為4×10⁶m/s；時(shí)間為$\frac{π}{3}$×10^-5s；
（2）離子進(jìn)入電場(chǎng)后，經(jīng)$\sqrt{3}×1{0}^{-7}$s的時(shí)間再次到達(dá)x軸上；
（3）所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為3×10^-4T．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握確定圓心、半徑和圓心角的方法，知道粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，掌握處理類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的方法，在沿電場(chǎng)方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)．