Question

4．在無風(fēng)的羽毛球館中，某人在離地面高為H處，將質(zhì)量為m的羽毛球以速度v₀水平擊出，假設(shè)羽毛球在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力f=kv，其中v是球的速度，k是已知的常數(shù)，阻力的方向與速度方向相反，并且球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．求：
（1）羽毛球剛被擊出時(shí)加速度的大��；
（2）求羽毛球從被擊出到著地過程中克服空氣阻力做的功W；
（3）若另有一個(gè)與上述相同的羽毛球從同一地點(diǎn)由靜止釋故，并且球在著地前也以作勻速運(yùn)動(dòng)，試比較兩球落地所需時(shí)間和著地時(shí)的速度，并簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)羽毛球進(jìn)行受力分析，由矢量疊加的運(yùn)算法則求得合外力，然后由牛頓第二定律求得加速度；
（2）由受力平衡求得末速度，然后由動(dòng)能定理求解；
（3）分析兩球豎直方向上的運(yùn)動(dòng)，得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；根據(jù)受力平衡得到末速度．

解答 解：（1）羽毛球剛被擊出時(shí)受到豎直向下的重力G=mg和水平方向的空氣阻力f₀=kv₀的作用，故合外力$F=\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2}}$，
那么由牛頓第二定律可得：羽毛球剛被擊出時(shí)加速度的大小${a}_{0}=\frac{F}{m}=\sqrt{{g}^{2}+（\frac{k{v}_{0}}{m}）^{2}}$；
（2）球在著地前已經(jīng)豎直向下做勻速運(yùn)動(dòng)，故羽毛球著地時(shí)有mg=kv，那么，$v=\frac{mg}{k}$；
羽毛球運(yùn)動(dòng)過程中只有重力、空氣阻力做功，故由動(dòng)能定理可得：$mgH-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
所以，$W=mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$；
（3）另一球在著地前也以作勻速運(yùn)動(dòng)，那么由（2）可知，末速度也為$v=\frac{mg}{k}$，即兩球著地時(shí)的速度相同；
水平拋出的球開始時(shí)在豎直方向的分速度為零，運(yùn)動(dòng)過程在豎直方向上受到的力和靜止釋放的完全一致，故兩球在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)相同，所以，兩球落地所需時(shí)間相同；
答：（1）羽毛球剛被擊出時(shí)加速度的大小為$\sqrt{{g}^{2}+（\frac{k{v}_{0}}{m}）^{2}}$；
（2）羽毛球從被擊出到著地過程中克服空氣阻力做的功W為$mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$；
（3）若另有一個(gè)與上述相同的羽毛球從同一地點(diǎn)由靜止釋故，并且球在著地前也以作勻速運(yùn)動(dòng)，那么兩球落地所需時(shí)間和著地時(shí)的速度都相等．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．