Question

4．如圖所示為“嫦娥三號(hào)”發(fā)射示意圖．經(jīng)過(guò)地月轉(zhuǎn)移軌道Ⅰ上的長(zhǎng)途飛行后，“嫦娥三號(hào)”在距月面高度h₁處成功變軌，進(jìn)入環(huán)月圓軌道Ⅱ．在該軌道上運(yùn)行了約4天后，再次成功變軌，進(jìn)入近月點(diǎn)高h(yuǎn)₂、遠(yuǎn)月點(diǎn)高h(yuǎn)₁的橢圓軌道Ⅲ．此后，沿橢圓軌道通過(guò)近月點(diǎn)的“嫦娥三號(hào)”以v₀的速度實(shí)施動(dòng)力下降．并成功實(shí)施軟著陸．已知月球的質(zhì)量M，半徑R；引力常量G，地球的半徑R₀，質(zhì)量為m的物體在距離月球球心r處具有的引力勢(shì)能E_P=-G$\frac{Mπ}{r}$．求：
（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率v
（2）“嫦娥三號(hào)”在繞月橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率v₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合月球質(zhì)量和“嫦娥三號(hào)”的軌道半徑求出“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率．
（2）“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)只受月球引力作用，滿足機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒求出“嫦娥三號(hào)”在繞月橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率

解答 解：（1）據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{Mm}{{（R+{h_1}{）^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)只受月球引力作用，滿足機(jī)械能守恒，由題意知嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的速度為v₀．根據(jù)機(jī)械能守恒有：

$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{2}}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{1}}）$，

解得：${v_1}=\sqrt{v_0^2+2GM（\frac{1}{{R+{h_1}}}一\frac{1}{{R+{h_2}}}）}$．
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率為$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）“嫦娥三號(hào)”在繞月橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2GM（\frac{1}{R+{h}_{1}}-\frac{1}{R+{h}_{2}}）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，知道嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能守恒，難度不大．