Question

17．水星和金星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動．從水星、金星與太陽在一條直線上時開始計時，測得在相同時間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為θ₁，金星轉(zhuǎn)過的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），如圖所示．則下列選項正確的是（　�。�

• A． 水星和金屬繞太陽運動的周期之比為$\frac{{T}_{水}}{{T}_{金}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$
• B． 水星和金星到太陽的距離之比為$\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}$=$（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}$
• C． 水星和金星的質(zhì)量之比為$\frac{{M}_{水}}{{M}_{金}}$=（$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$
• D． 水星和金星繞太陽運動的向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{水}}{{a}_{金}}$=$（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{\frac{4}{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)$ω=\frac{△θ}{△t}$可求得水星和金星的角速度之比，然后再利用萬有引力提供向心力，可求得周期、質(zhì)量、向心加速度之比．

解答 解：根據(jù)$ω=\frac{△θ}{△t}$得：水星與金星的角速度之比為：$\frac{{ω}_{水}}{{ω}_{金}}=\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}$
A、根據(jù)$T=\frac{2π}{ω}$得水星和金屬繞太陽運動的周期之比為：$\frac{{T}_{水}}{{T}_{金}}=\frac{{ω}_{金}}{{ω}_{水}}=\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，故A正確；
B、金星和水星繞太陽運動，萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ 即：$r=\root{3}{\frac{G{M}_{太}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，所以水星和金星到太陽的距離之比為$\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}=\frac{\root{3}{{{T}_{水}}^{2}}}{\root{3}{{{T}_{金}}^{2}}}=（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}$，故B正確；
C、萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ 可以看出無法求解水星和金星的質(zhì)量之比，故C錯誤；
D、根據(jù)a=ω²r得水星和金星繞太陽運動的向心加速度大小之比為$\frac{{a}_{水}}{{a}_{金}}=\frac{{{ω}_{水}}^{2}}{{{ω}_{金}}^{2}}×\frac{{r}_{水}}{{r}_{金}}=（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{2}×（\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}）^{\frac{2}{3}}\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$=$（\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}）^{\frac{4}{3}}$，故D正確；
故選：ABD．

點評 水星和金星繞太陽的運動可視為勻速圓周運動，利用圓周運動的知識結(jié)合萬有引力提供向心力列式即可求解．