Question

11．如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD是圓環(huán)相互垂直的兩條直徑，C、D兩點與圓心O等高．一個質量為m的光滑小球套在圓環(huán)上，一根輕質彈簧一端連在小球上，另一端固定在P點，P點在圓心O的正下方$\frac{R}{2}$處．小球從最高點A由靜止開始沿逆時針方向下滑，己知彈簧的原長為R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，下列說法正確的有（　�。�

• A． 彈簧長度等于R時，小球的動能最大
• B． 小球運動到B點時的速度大小為$\sqrt{2gR}$
• C． 小球在A、B兩點時對圓環(huán)的壓力差為4mg
• D． 小球從A到C的過程中，彈簧對小球做的功等于小球機械能的增加量

Answer 1

分析 通過分析小球的受力情況，分析小球速度的變化，從而判斷出動能的變化情況．小球通過A和B兩點時，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求小球運動到B點時的速度．根據(jù)牛頓第二定律和第三定律求小球在A、B兩點時對圓環(huán)的壓力差．在小球運動的過程中，彈簧的彈力對小球做功等于小球機械能的增量．

解答 解：A、彈簧長度等于R時，彈簧處于原長，在此后的過程中，小球的重力沿軌道的切向分力大于彈簧的彈力沿軌道切向分力，小球仍在加速，所以彈簧長度等于R時，小球的動能不是最大．故A錯誤．
B、由題可知，小球在A、B兩點時彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得，小球運動到B點時的速度 v_B=2$\sqrt{gR}$．故B錯誤．
C、設小球在A、B兩點時彈簧的彈力大小為F．在A點，圓環(huán)對小球的支持力 F₁=mg+F；
在B點，由圓環(huán)，由牛頓第二定律得：F₂-mg-F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得，圓環(huán)對小球的支持力 F₂=5mg+F；
則F₂-F₁=4mg，由牛頓第三定律知，小球在A、B兩點時對圓環(huán)的壓力差為4mg，故C正確．
D、小球從A到C的過程中，根據(jù)功能原理可知，彈簧對小球做的功等于小球機械能的增加量．故D正確．
故選：CD

點評 解決本題的關鍵要分析清楚小球的受力情況，判斷能量的轉化情況，要抓住小球通過A和B兩點時，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等．