Question

20．如圖所示，半徑為R、內徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個質量均為m的小球A、B，以不同的速度進入管內，A通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg；B通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg，重力加速度為g．求
（1）A、B兩球通過最高點時的速度大小；
（2）A、B兩球落地點間的距離；
（3）如果小球在最高點只受到重力作用，其速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）a球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點速度．
b球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出b球在最高點速度．
（2）兩球從最高點飛出后均做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，由高度2R求出運動時間．水平方向做勻速直線運動，由速度和初速度求解水平位移，a、b兩球落地點間的距離等于位移之差；
（3）球在最高點只受到重力作用，故重力提供做向心力，由牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）設A、B兩球到達最高點C時的速度分別為v_A、v_B，因為管的內徑很小，故可認為兩球在最高點C時的軌道半徑相等．兩球在最高點受力如圖所示．由牛頓第二定律可得
對小球A有　${N_A}+mg=m\frac{v_A^2}{R}$
將 N_A=3mg代入可得 　${v_A}=\sqrt{4gR}$
對小球B有　$mg-{N_B}=m\frac{v_B^2}{R}$
將${N_B}=\frac{3}{4}mg$代入可得${v_B}=\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
（2）兩球離開管后做平拋運動，設飛行時間大小為T，則有$2R=\frac{1}{2}g{T^2}解得T=\sqrt{\frac{4R}{g}}$
A、B落地距離即為水平位移之差，所以有$△S={s_A}-{s_B}=（{v_A}-{v_B}）T=（\sqrt{4gR}-\sqrt{\frac{1}{4}gR}）\sqrt{\frac{4R}{g}}=3R$
（3）因為球在最高點只受到重力作用，故重力提供做向心力，設此時速度為v₀．由牛頓第二定律有$mg=m\frac{v_0^2}{R}$解得　${v_0}=\sqrt{gR}$
答：（1）A、B兩球通過最高點時的速度大小分別為$\sqrt{4gR}$和$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$；
（2）A、B兩球落地點間的距離為3R；
（3）如果小球在最高點只受到重力作用，其速度大小是$\sqrt{gR}$．

點評 本題關鍵是對小球在最高點處時受力分析，然后根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律求出平拋的初速度，最后根據(jù)平拋運動的分位移公式列式求解．