Question

17．如圖1所示的平行板電容器，板間距為d，兩板所加電壓隨時(shí)間的變化如圖2所示，t=0時(shí)刻，質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子以平行于極板的速度v₀射入電容器，t=3T時(shí)斜射出電容器，不計(jì)帶電粒子的重力，求：
（1）平行板電容器板長(zhǎng)L；
（2）粒子射出電容器時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)的角度的正切值；
（3）粒子射出電容器時(shí)垂直極板方向偏轉(zhuǎn)的距離y．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解板長(zhǎng)L；
（2）根據(jù)電壓隨時(shí)間變化的圖象知，在T-2T時(shí)間內(nèi)板間無(wú)電場(chǎng)，粒子不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的傾角；
（3）同樣根據(jù)有電場(chǎng)時(shí)粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有電場(chǎng)時(shí)在豎直方向做勻速運(yùn)動(dòng)，分三段考慮粒子偏轉(zhuǎn)的位移．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=3T，由題意知，帶電粒子在電場(chǎng)方向上做勻變速運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向上不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有：
平行板電容器極板長(zhǎng)度L=v₀t=3v₀T
（2）粒子在電容器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在電場(chǎng)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，在垂直電場(chǎng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場(chǎng)圖象可知：
在0-T的時(shí)間里，粒子在電場(chǎng)方向（垂直板的方向）做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{F}{m}=\frac{qU}{md}$，初速度為0，末速度為aT
在T-2T時(shí)間里，粒子不受電場(chǎng)力作用（垂直板的方向）粒子做速度v=aT的勻速直線運(yùn)動(dòng)
在2T-3T時(shí)間里，粒子在電場(chǎng)方向做初速度v=aT的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{qU}{md}$則末速度為2aT
所以粒子在垂直板的方向即y方向的末速度為v_y=2aT=2$\frac{qU}{md}$
粒子在平行板的方向即x方向的末速度v_x=v₀
射出電容器時(shí)，偏轉(zhuǎn)角度為φ，則tgφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$
（3）由（2）分析知，粒子在0～T，垂直板的方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=$\frac{qU}{md}$，時(shí)間t=T，所以在y方向偏轉(zhuǎn)的位移
${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•{T}^{2}$
T～2T，垂直板的方向做初速度v=aT的勻速直線運(yùn)動(dòng)，則在y方向偏轉(zhuǎn)的位移${y}_{2}=vT=aT•T=\frac{qU}{md}{T}^{2}$；
2T～3T，垂直板的方向做初速度v=aT，加速度a=$\frac{qU}{md}$的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故在y方向偏轉(zhuǎn)的位
${y}_{3}=vT+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=aT•T+\frac{1}{2}a{T}^{2}$=$\frac{3}{2}•\frac{qU}{md}•{T}^{2}$
所以在粒子射出電場(chǎng)的3T時(shí)間內(nèi)豎直方向偏轉(zhuǎn)的位移$y={y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}=\frac{3qU}{md}•{T}^{2}$
答：（1）平行板電容器板長(zhǎng)是3v₀T；
（2）粒子從射入到射出電容器時(shí)速度偏轉(zhuǎn)的角度的正切值$\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$；
（3）粒子從射入到射出電容器時(shí)豎直方向偏轉(zhuǎn)的位移$\frac{3qU}{md}•{T}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，分析粒子在豎直方向多過(guò)程的位移和速度，是解決本題的關(guān)鍵．