Question

20．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m，細(xì)線AC長l，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等．（cos37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$） 
（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時，求AB和AC細(xì)線上的拉力大��；
（2）若AB細(xì)線水平且拉力等于重力的一半，求此時裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω₁的大��；
（3）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，求裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω的取值范圍．（提示ω應(yīng)在一個最大值和一個最小值之間變化才能保證AB細(xì)線拉力為零．）

Answer 1

分析 （1）靜止時受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）對小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（3）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）對小球進(jìn)行受力分析，由平衡條件得：
T_AB=mgtan37°=0.75mg，
${T}_{AC}=\frac{mg}{cos37°}=1.25mg$
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：
Tcosθ=mg，
Tsinθ-${T}_{AB}=m{{ω}_{1}}^{2}lsinθ$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$
（3）由題意，當(dāng)ω最小時，繩AC與豎直方向的夾角α=37°，受力分析，如圖，則有：
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$
當(dāng)ω最大時，繩AC與豎直方向的夾角β=53°，則有：
$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$，
所以ω的取值范圍為：$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時，AB細(xì)線上的拉力為0.75mg，AC細(xì)線上的拉力大小為1.25mg；
（2）若AB細(xì)線水平且拉力等于重力的一半，此時裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω₁的大小為$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$；
（3）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動的向心力來源，確定小球運(yùn)動過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．