Question

（附加題，本題不計(jì)入總分，僅供同學(xué)們思考）如圖所示，質(zhì)量為3m的足夠長木板C靜
止在光滑水平面上，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小物體A、B放在C的左端，A、B間相距s₀，現(xiàn)同時(shí)對A、B施加水平向右的瞬時(shí)沖量而使之分別獲得初速度v₀和2v₀，若A、B與C之間的動摩擦因數(shù)分別為μ和2μ，則
（1）最終A、B、C的共同速度為多大？
（2）求運(yùn)動過程中A的最小速度？
（3）A與B最終相距多遠(yuǎn)？
（4）整個(gè)過程中A、B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比為多大？

Answer 1

（1）根據(jù)動量守恒定律得
   mv₀+2mv₀=（m+m+3m）v
解得v=0.6v₀  
（2）設(shè)經(jīng)過t時(shí)間，A與C相對靜止，共同速度為v_AC，此時(shí)B的速度為v_B，由動量守恒得
    mv₀+2mv₀=（m+3m）v_AC+mv_B
根據(jù)動量定理得
   對A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
   對C：（μmg+2μmg）t=3mv_AC
聯(lián)立以上三式
    v_AC=0.5v₀，v_B=v₀
（3）AC相對靜止前，AB做勻減速運(yùn)動，C做勻加速運(yùn)動，三個(gè)物體的加速度分別為
    a_A=

μmg

m

=μg
    aB=

2μmg

m

=2μg
    a_C=

μmg+2μmg

3m

=μg
AC相對靜止后，AC做勻加速運(yùn)動，B做勻減速運(yùn)動，三個(gè)物體的加速度分別為
    a_A′=a_C′=

2μmg

m+3m

=0.5μg
   a_B′=a_B=2μg
最終三個(gè)物體一起做勻速直線運(yùn)動．
從開始運(yùn)動到三個(gè)物體都相對靜止，A、B相對于地的位移分別為
   s_A=

v 20 - v 2AC

2aA

+

v2- v 2AC

2aA′

=0.485

v 20

μg

  s_B=

(2v0)2-v2

2aB

=0.91

v 20

μg

所以A與B最終相距△s=s₀+s_B-s_A=s₀+0.425

v 20

μg

      
（4）設(shè)整個(gè)運(yùn)動過程中AC相對于滑行的距離為s，則B相對于C滑行的距離為s+△s-s₀．
根據(jù)能量守恒定律得
   μmgs+2μmg（s+△s-s₀）=

1

2

m

v

20

+

1

2

m(2v0)2-

1

2

(m+m+3m)v2
解得s=s₀+0.425

v 20

μg

    
整個(gè)過程中A、B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量分別為
   Q_A=μmgs
   Q_B=2μmg（s+△s-s₀）
代入解得
  

QA

QB

=

5

27

答：
（1）最終A、B、C的共同速度為0.6v₀．
（2）運(yùn)動過程中A的最小速度為0.5v₀．
（3）A與B最終相距得s₀+0.425

v 20

μg

    
（4）整個(gè)過程中A、B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比為5：27．