Question

17．已知某船在靜水中的速率為v₁=4m/s，現(xiàn)讓船渡過(guò)某條河，假設(shè)這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d=100m，河水的流動(dòng)速度為v₂=3m/s，方向與河岸平行．試分析：
（1）欲使船以最短時(shí)間渡過(guò)河去，船的航向怎樣？最短時(shí)間是多少？船發(fā)生的位移是多大？
（2）欲使船渡河過(guò)程中的航行距離最短，船的航向又應(yīng)怎樣（畫(huà)圖表示）？渡河所用時(shí)間是多少？
（3）若河水的流動(dòng)速度增大為v₃=5m/s，其余條件不變．欲使船渡河過(guò)程中的航行距離最短，船的航向又應(yīng)怎樣（畫(huà)圖表示）？渡河所用時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）船航行時(shí)速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當(dāng)以靜水中的速度垂直河岸過(guò)河的時(shí)候渡河時(shí)間最短．由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實(shí)際以合速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求得位移的大小；
（2）小船以最短距離過(guò)河時(shí)，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸．
（3）水的速度大于船的速度時(shí)，船不能垂直于河岸到達(dá)對(duì)岸，當(dāng)船速與合速度的方向垂直時(shí)，船渡河過(guò)程中的航行距離最短．

解答 解：（1）當(dāng)船頭垂直對(duì)岸行到對(duì)岸時(shí)，所需要的時(shí)間最短，最短時(shí)間為：t=$\fracqkheemy{{v}_{1}}$=$\frac{100}{4}$=25s
船沿著水流方向的位移大�。簊=v_st=3×25=75m；
船發(fā)生的位移是：x=$\sqrt{{s}^{2}+jkaxqfc^{2}}$=$\sqrt{7{5}^{2}+10{0}^{2}}$=125m；
（2）欲使船航行距離最短，需使船的實(shí)際位移（合位移）與河岸垂直，如左圖：

則船的合速度為：υ=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$m/s，
t=$\fraccwtqvrz{v}$=$\frac{100}{\sqrt{7}}$s=$\frac{100\sqrt{7}}{7}$s；
（3）若河水的流動(dòng)速度增大為v₃=5m/s，此時(shí)水的速度大于船的速度時(shí)，船不能垂直于河岸到達(dá)對(duì)岸，當(dāng)船速與合速度的方向垂直時(shí)，即合速度的方向與河岸之間的夾角最大時(shí)，船渡河過(guò)程中的航行距離最短．如右圖；
此時(shí)垂直于河岸方向的分速度：v_⊥=₁cosθ
又：sinθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{3}}=\frac{4}{5}$
渡河的時(shí)間：t′=$\fracvugodwp{{v}_{⊥}}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：t′=41.7s
答：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船應(yīng)垂直河岸渡河，最短時(shí)間是25s，船經(jīng)過(guò)的位移是125m；
（2）欲使船航行距離最短，船的合速度垂直河岸渡河，船頭指向河的上游，如圖；渡河時(shí)間$\frac{{100\sqrt{7}}}{7}$s．
（3）若河水的流動(dòng)速度增大為v₃=5m/s，其余條件不變．欲使船渡河過(guò)程中的航行距離最短，船的航向如圖，渡河所用時(shí)間是41.7s

點(diǎn)評(píng) 小船過(guò)河問(wèn)題屬于運(yùn)動(dòng)的合成問(wèn)題，要明確分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性、獨(dú)立性，運(yùn)用分解的思想，看過(guò)河時(shí)間只分析垂直河岸的速度，分析過(guò)河位移時(shí)，要分析合速度．