Question

9．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行板電容器位于y軸左側(cè)，其中線O₁O與x軸重合，y軸右側(cè)存在一與y軸相切的圓形磁場區(qū)域，圓心O₂在x軸上，PQ為與x軸垂直的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，磁場方向垂直紙面向外，已知電容器兩板長為L，兩板間距為d，下板接地，上板的電勢隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示，磁場區(qū)域的半徑為$\frac{3}{4}$d．從t=0時(shí)刻開始，大量的電荷量為q、質(zhì)量為m的帶負(fù)電粒子從Q₁以速度v₀沿x軸方向持續(xù)射入電場，粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與電場的變化周期相等，發(fā)現(xiàn)t=0時(shí)刻射入的粒子恰由下板邊緣飛出，通過磁場后由P點(diǎn)離開，求：
（1）U₀的值；
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的值；
（3）將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，請確定在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子進(jìn)入磁場時(shí)位置的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由于粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與電場的變化周期相等，所以粒子y方向先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小相同，所用時(shí)間相同，粒子離開電場時(shí)粒子恰好從下邊水平緣射出進(jìn)入磁場，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就能求出加速電壓．
（2）畫出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何關(guān)系求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀．
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度減半后，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，要使粒子在磁場中的時(shí)間最長，則軌跡弧所對的弦長應(yīng)對應(yīng)圓形磁場的直徑．畫出軌跡，由幾何關(guān)系就能求出入射點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)電場周期為T，粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與電場的變化周期相等，由題意可知：
t=0時(shí)刻射入電場的粒子在電場中沿x方向做勻速運(yùn)動(dòng)，所以y方向先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻
減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小相同，所用時(shí)間相同，粒子離開電場時(shí)有：
v_y=a$\frac{T}{2}$-a $\frac{T}{2}$=0               
粒子恰好從下邊水平緣射出，則沿y方向的位移為：
$\fraci4sgwue{2}$=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²+$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²       
T=$\frac{L}{{v}_{0}}$                        
由牛頓第二定律得：qE=ma        
U₀=Ed           
解得：U₀=$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}8oui6mw^{2}}{q{L}^{2}}$         
（2）粒子自A點(diǎn)水平進(jìn)入進(jìn)入磁場，r為粒子的軌道半徑，O₃為圓心，在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，
由O₂P=O₂A=R，O₃P=O₃A=r，O₃A∥O₂P可知?O₃AO₂P為菱形．
所以有  r=R=$\frac{3}{4}d$                
在磁場中，洛倫茲力作為向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B₀=m$\frac{v02}{r}$               
所以：B₀=$\frac{4mv0}{3qd}$    
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，同理可得粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)閞′=2r=$\frac{3}{2}d$，要使水
平進(jìn)入的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，則必使粒子在圓形磁場區(qū)域軌跡弧長最長，弦長也最長--即為圓形
區(qū)域的直徑，軌跡如圖所示，
由幾何關(guān)系知道進(jìn)入磁場的B點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：
 x_B=R-Rsin60°=$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$
 y_B=-Rcos60°=$-\frac{3}{8}d$            
進(jìn)入磁場的位置坐標(biāo)為（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）
答：（1）U₀的值為$\frac{2m{{v}_{0}}^{2}wici0ye^{2}}{q{L}^{2}}$．
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的值是$\frac{4mv0}{3qd}$．
 （3）將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)?\frac{{B}_{0}}{2}$，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子進(jìn)入磁場時(shí)位置的橫坐標(biāo)是（$\frac{3（2-\sqrt{3}）}{8}d$，$-\frac{3}{8}d$）．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)有兩個(gè)：①粒子先在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由于加速大小相等而方向相反，則離開電場的速度沿水平方向．②磁場減半時(shí)，半徑加倍，要使粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，則軌跡弧所對的弦長應(yīng)為磁場圓的直徑，由幾何關(guān)系就能求出入射點(diǎn)的坐標(biāo)．