Question

15．我國(guó)自主研制的“北斗一號(hào)”衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，在甘肅玉樹(shù)的抗震救災(zāi)中發(fā)揮了巨大作用．北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又被稱(chēng)為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導(dǎo)航、定位等功能．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作星均繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，某時(shí)刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力．則以下判斷中正確的是（　　）

• A． 衛(wèi)星1向后噴氣加速，一定能追上衛(wèi)星2
• B． 這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等，均為$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$
• C． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間為$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B的過(guò)程中萬(wàn)有引力做正功

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和地球表面重力與萬(wàn)有引力相等求解出衛(wèi)星軌道處的加速度及衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：A、衛(wèi)星1向后噴氣，衛(wèi)星做加速運(yùn)動(dòng)，在軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力增加，而提供向心力的萬(wàn)有引力沒(méi)有發(fā)生變化，故衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星軌道變大，故衛(wèi)星不能追上同軌道運(yùn)行的衛(wèi)星2，故A錯(cuò)誤；
B、在地球表面重力與萬(wàn)有引力大小相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²，又衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，故有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$可得衛(wèi)星的加速度
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，故B正確；
C、萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得衛(wèi)星運(yùn)行周期為：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，所以衛(wèi)星從位置1到位置2所需時(shí)間t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C正確．
D、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故從位置1運(yùn)動(dòng)到位置2的過(guò)程中，萬(wàn)有引力始終指向圓心與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的速度方向垂直，故此過(guò)程中萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星不做功，故D錯(cuò)誤；
故選：BC．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力引用主要入手點(diǎn)：一是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，二是在星球表面重力與萬(wàn)有引力相等．注意向心力公式的不同表達(dá)式是正確解題的關(guān)鍵．