Question

15．我國自主研制的“北斗一號”衛(wèi)星導航系統(tǒng)，在甘肅玉樹的抗震救災中發(fā)揮了巨大作用．北斗導航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導航、定位等功能．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作星均繞地心O做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛(wèi)星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛(wèi)星間的相互作用力．則以下判斷中正確的是（　�。�

• A． 衛(wèi)星1向后噴氣加速，一定能追上衛(wèi)星2
• B． 這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等，均為$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$
• C． 衛(wèi)星1由位置A運動到位置B所需的時間為$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 衛(wèi)星1由位置A運動到位置B的過程中萬有引力做正功

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和地球表面重力與萬有引力相等求解出衛(wèi)星軌道處的加速度及衛(wèi)星運動的周期．

解答 解：A、衛(wèi)星1向后噴氣，衛(wèi)星做加速運動，在軌道上做圓周運動所需向心力增加，而提供向心力的萬有引力沒有發(fā)生變化，故衛(wèi)星將做離心運動，衛(wèi)星軌道變大，故衛(wèi)星不能追上同軌道運行的衛(wèi)星2，故A錯誤；
B、在地球表面重力與萬有引力大小相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²，又衛(wèi)星在軌道上運動萬有引力提供圓周運動的加速度，故有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$可得衛(wèi)星的加速度
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$，故B正確；
C、萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得衛(wèi)星運行周期為：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}=\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，所以衛(wèi)星從位置1到位置2所需時間t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，故C正確．
D、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的過程中，萬有引力提供圓周運動的向心力，故從位置1運動到位置2的過程中，萬有引力始終指向圓心與衛(wèi)星運動的速度方向垂直，故此過程中萬有引力對衛(wèi)星不做功，故D錯誤；
故選：BC．

點評 萬有引力引用主要入手點：一是萬有引力提供圓周運動向心力，二是在星球表面重力與萬有引力相等．注意向心力公式的不同表達式是正確解題的關鍵．