Question

【題目】2007年10月24日，中國(guó)首顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道．隨后，“嫦娥一號(hào)”經(jīng)過(guò)變軌和制動(dòng)成功進(jìn)入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)暫短的點(diǎn)火變速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在到達(dá)軌道Ⅱ近月點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火變速，進(jìn)入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0．不考慮其它星體對(duì)飛船的影響，求：

（1）飛船在軌道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相

同，某時(shí)刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側(cè)，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，他們又會(huì)相距最近？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由半徑與關(guān)系求得速度之比；根據(jù)開(kāi)普勒行星定律由半長(zhǎng)軸的關(guān)系求得周期，從遠(yuǎn)月點(diǎn)飛到近月點(diǎn)所用時(shí)間為橢圓軌道的一半周期；相距最近時(shí)，兩飛船中運(yùn)得快的比運(yùn)動(dòng)得慢的多繞月飛行n周，根據(jù)角速度關(guān)系求解所用時(shí)間即可。

（1）由萬(wàn)有引力提供向心力有：，解得：

所以：

（2）設(shè)飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期為T1，在軌道I有：

在月球表面有：

由以上可得：

設(shè)飛船在軌道II上的運(yùn)動(dòng)周期T2，而軌道II的半長(zhǎng)軸為2.5R，

根據(jù)開(kāi)普勒定律得：

可解得：

所以飛船從A到B的飛行時(shí)間為：

（3）設(shè)飛船在軌道I上的角速度為ω1、在軌道III上的角速度為ω3，有：

所以

設(shè)飛飛船再經(jīng)過(guò)t時(shí)間相距最近，有：ω3t﹣ω1t=2nπ

所以