Question

20．如圖所示，用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成一個外徑為R的半球形空心球殼．一束與O′O平行的平行光射向此半球的外表面，若讓一個半徑為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$的圓形遮光板的圓心過O′O軸，并且垂直該軸放置．則球殼內(nèi)部恰好沒有光線射入．求：
（1）臨界光線射入球殼時的入射角θ₁和折射角θ₂
（2）球殼的內(nèi)徑R′．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出臨界光線射入球殼時入射角的正弦，結(jié)合折射定律求出折射角的大小．
（2）根據(jù)全反射的條件，通過折射定律求出臨界角的大小，從而根據(jù)正弦定理求出球殼的內(nèi)徑R′

解答 解：（1）由題圖和幾何知識得：sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ₁=45°
由折射率的定義式為：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\sqrt{2}$
聯(lián)立解出得：θ₂=30°
（2）對臨界光線為：sinC=$\frac{1}{n}$
在題圖△oab中，由正弦定理：$\frac{R}{sin（180°-C）}$=$\frac{R′}{sin{θ}_{2}}$
聯(lián)立解得：R′=R．                                               
答：（1）臨界光線射入球殼時的入射角θ₁和折射角θ₂分別為45°和30°．
（2）球殼的內(nèi)徑R′為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

點(diǎn)評 本題考查了折射定律以及全反射知識，對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．