Question

19．如圖所示的裝置可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與細(xì)線1、2連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線1水平，細(xì)線2與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線2長l=1m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等．重力加速度g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線1上的張力為零而細(xì)線2與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$ rad/s，求細(xì)線2與豎直方向的夾角．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$ rad/s，大于第一問中的角速度，小球向左上方擺起，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合幾何關(guān)系求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．

解答 解：（1）當(dāng)細(xì)線1上的張力為零時(shí)，小球的重力和細(xì)線2對小球的拉力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即：
mgtan 37°=mω${\;}_{1}^{2}$lsin 37°，
代入數(shù)據(jù)解得：ω₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ rad/s；
（2）當(dāng)ω₂=$\sqrt{\frac{50}{3}}$rad/s時(shí)，由于ω₂＞ω₁，故小球應(yīng)向左上方擺起．
由幾何關(guān)系可知，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離均為：
d=lcos37°=0.8 m，
細(xì)線1的長度為：l′=0.2 m．
假設(shè)細(xì)線1上的張力仍為零，設(shè)此時(shí)細(xì)線2與豎直軸的夾角為α，則可得：
mgtan α=mω${\;}_{2}^{2}$lsin α，
代入數(shù)據(jù)可解得：cos α=0.6，
即：α=53°，
由幾何關(guān)系可知，此時(shí)細(xì)線1恰好豎直且細(xì)線的張力為零，故此時(shí)細(xì)線2與豎直方向的夾角為53°．
答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ rad/s；
（2）細(xì)線2與豎直方向的夾角為53°．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，在第二問中，要知道小球的角速度大于第一問中的角速度，小球?qū)⑾蜃笊戏綌[起．