Question

6．如圖所示AB為光滑的斜面軌道，通過一小段光滑圓弧與光滑水平軌道BC相連接，質量為m的小球乙靜止于水平軌道上，一個質量為M（M＞m）小球甲以速度v₀與乙球發(fā)生彈性正碰，碰后乙球沿水平軌道滑向斜面AB，求：
（1）在甲、乙第一次碰撞后的速度；
（2）在甲乙發(fā)生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能達到最大高度的范圍？（設斜面足夠長）

Answer 1

分析 （1）甲、乙兩球碰撞時動量守恒，機械能也守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律求出第一次碰后兩者的速度．
（2）碰后乙在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律可以求出乙球能到達的最大高度范圍．

解答 解：（1）甲、乙兩球第一次碰撞過程中，取向左為正方向，由動量守恒定律得：
Mv₀=Mv₁+mv₂，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得碰后甲、乙的速度分別為：v₁=$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀=$\frac{2{v}_{0}}{1+\frac{m}{M}}$
①當M＞＞m時，v₂=2v₀，
碰后乙上升到最高點時，速度為零，在此過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv₂²
乙球能上升的最大高度為：h=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
②當M=m時，v₂=v₀，h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
則乙球上升的最大高度范圍是：$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$≤h≤$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
答：（1）在甲、乙第一次碰撞后的速度分別為$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$和$\frac{2M}{M+m}$v₀；
（2）在甲乙發(fā)生第二次碰撞之前，乙球在斜面上能達到最大高度的范圍為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$≤h≤$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$．

點評 本題考查了動量守恒、能量守恒的綜合運用，關鍵是要知道彈性碰撞的特點：動量守恒、動能守恒，解題時要注意討論乙球的速度范圍．