Question

6．有一架電梯，啟動(dòng)時(shí)勻速上升，加速度為2m/s²，制動(dòng)時(shí)勻減速上升，加速度為-1m/s²，樓高54m．
（1）電梯升到樓頂?shù)淖疃虝r(shí)間是多少？
（2）若上升的最大速度為6m/s，電梯升到樓頂?shù)淖疃虝r(shí)間是多少？
（3）果電梯先加速上升，然后勻速上升，最后減速上升，全程共用時(shí)間為16.5s，上升的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電梯先勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再勻減速直線運(yùn)動(dòng)到零，這樣所需的時(shí)間最短．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出最短的時(shí)間．
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的位移得出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，從而得出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，得出電梯上升到樓頂?shù)臅r(shí)間．
（3）設(shè)最大速度為v，根據(jù)第一問(wèn)的思路，分別得到加速、減速和勻速的時(shí)間（包含v的表達(dá)式），最后代入數(shù)據(jù)求解；

解答 解：（1）電梯先加速后減速，設(shè)最大速度為v
根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{4}$
${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2}$
${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=54$
解得：$v=6\sqrt{2}m/s$
${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}s=3\sqrt{2}s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{6\sqrt{2}}{1}=6\sqrt{2}s$
最短時(shí)間：${t}_{min}^{\;}={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=9\sqrt{2}s$
（2）勻加速時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{6}{2}s=3s$
勻加速位移${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}=\frac{{6}_{\;}^{2}}{2×2}=9m$
勻減速時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{6}{1}s=6s$
勻減速位移${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{{6}_{\;}^{2}}{2×1}=18m$
勻速的位移${x}_{3}^{\;}=54-9-18=27m$
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{3}^{\;}=\frac{{x}_{3}^{\;}}{v}=\frac{27}{6}=4.5s$
電梯升到樓頂?shù)淖疃虝r(shí)間是${t}_{min}^{\;}=3+6+4.5=13.5s$
（3）設(shè)加速：加速度a₁，時(shí)間t₁；減速加速度a₃，時(shí)間t₃，最大速度為v
勻加速時(shí)間：${t}_{1}^{\;}=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{v}{2}$
勻減速時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=\frac{v}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{v}{1}=v$
勻速時(shí)間：${t}_{3}^{\;}=16.5-\frac{3}{2}v$
勻加速位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{4}$
勻減速位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2}$
勻速位移${x}_{3}^{\;}=v{t}_{3}^{\;}=16.5v-\frac{3}{2}{v}_{\;}^{2}$
${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}=54$
即：$16.5v-\frac{3}{4}{v}_{\;}^{2}=54$
解得：v=18m/s
答：（1）電梯升到樓頂?shù)淖疃虝r(shí)間是$9\sqrt{2}m/s$
（2）若上升的最大速度為6m/s，電梯升到樓頂?shù)淖疃虝r(shí)間是13.5s
（3）如果電梯先加速上升，然后勻速上升，最后減速上升，全程共用時(shí)間為16.5s，上升的最大速度是18m/s

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清電梯的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住總位移一定，靈活運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．