Question

7．如圖所示，細線繞過小定滑輪O，一端與套在豎直桿上的甲環(huán)相連，另一端與乙物相連，甲環(huán)和乙物的質(zhì)量相等．豎直桿上有A、B、C三點，B點與滑輪O在同一水平高度，AO和CO的長均為5L，與豎直桿的夾角均為53°，裝置中所有接觸的部分均光滑．現(xiàn)將甲環(huán)由A點無初速釋放，甲環(huán)下滑過程中細線始終處于繃緊狀態(tài)． 當甲環(huán)下滑到B點時，甲環(huán)的速度大小為$2\sqrt{2gL}$；當甲環(huán)下滑到C點時，乙物的速度大小為$\sqrt{\frac{54}{17}gL}$．（重力加速度為g）

Answer 1

分析 當圓環(huán)運動到B點時，重物下降到最低點位置，則取環(huán)與重物作為系統(tǒng)，由于只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒，因此根據(jù)機械能守恒定律可解出圓環(huán)的速度大�。�根據(jù)圓環(huán)的受力情況分析速度變化情況．圓環(huán)下滑到C點時，根據(jù)幾何關(guān)系來確定變化的高度，再由機械能守恒定律，并結(jié)合運動的分解來確定圓環(huán)下滑到C點時的速度大小．

解答 解：圓環(huán)甲下滑到B點時，桿到O點的距離最近，所以重物乙下降到最低點，此時重物乙的速度為零．
根據(jù)幾何關(guān)系可知：圓環(huán)下降高度為：h_AB=$\overline{AO}•cos53°=\frac{3}{5}×5L=3L$
而BO之間的距離：$\overline{BO}=\overline{AO}•sin53°=\frac{4}{5}×5L=4L$
重物乙下降的高度為：△h=5L-4L=L
該過程中系統(tǒng)只有重力做功，所以系統(tǒng)機械能守恒，則有：
mgh_AB+mg△h=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上可解得圓環(huán)的速度為：v₁=$2\sqrt{2gL}$
當圓環(huán)甲到達C點時，設(shè)甲的速度是v2，乙的速度是v3，則乙的速度等于甲的速度沿繩子方向的分速度，將甲的速度分解如圖：
由圖可知：${v}_{3}={v}_{2}•cos53°=\frac{3{v}_{2}}{5}$
AC之間的距離：h_AC=2h_AB=6l
A到C的過程中，甲的位置下降6L，由對稱性可知，乙物體恰好又回到了開始時的位置，所以由機械能守恒得：
$mg{h}_{AC}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
整理得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{150gL}{17}}$，${v}_{3}=\sqrt{\frac{54gL}{17}}$
故答案為：$2\sqrt{2gL}$，$\sqrt{\frac{54}{17}gL}$

點評 本題多次運用幾何關(guān)系及機械能守恒定律，定律的表達式除題中變化的動能等于變化的重力勢能外，還可以寫成圓環(huán)的變化的機械能等于重物的變化的機械能．同時關(guān)注題中隱含條件的挖掘．