Question

13．某行星探測器在噴氣發(fā)動機推力作用下從所探測的行星表面以加速度a勻加速豎直升空，當其速度達到v時，發(fā)動機突然發(fā)生故障而關閉．已知該行星的半徑為R，該行行星表面附近物體自由下落加速度為g，探測器總質(zhì)量的變化、行星對探測器的引力隨高度的變化、行星自轉(zhuǎn)的影響、行星表面的氣體對探測器的影響都忽略不計．求：
（1）貼著該行星表面沿圓軌道飛行的衛(wèi)星的速度大��；
（2）探測器上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力，聯(lián)立求出貼著行星表面做圓周運動的速度．
（2）根據(jù)速度位移公式求出勻加速上升的位移，結(jié)合速度位移公式求出勻減速運動的位移，從而得出上升的最大高度．

解答 解：（1）設行星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星的速度為v，根據(jù)牛頓第二定律
G$\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
在行星表面的重力等于萬有引力，$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{Rg}$
（2）設探測器發(fā)動機工作時上升的高度為h₁，關閉發(fā)動機后上升的高度為h₂，上升的總高度為h．根據(jù)運動學公式
v²=2ah₁，v²=2gh₂
解得：$h={h_1}+{h_2}=\frac{v^2}{2}（\frac{1}{a}+\frac{1}{g}）$．
答：（1）貼著該行星表面沿圓軌道飛行的衛(wèi)星的速度大小為$\sqrt{Rg}$；
（2）探測器上升的最大高度為$\frac{{v}^{2}}{2}（\frac{1}{a}+\frac{1}{g}）$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論，以及知道探測器在整個過程中的運動規(guī)律，結(jié)合運動學公式靈活求解．