Question

14．海王星被人們稱為筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星．如圖，A為太陽系中的天王星，它繞太陽O運行的軌道視為圓時，運動的軌道半徑為R₀，周期為T₀．長期觀測發(fā)現(xiàn)，天王星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，即軌道半徑出現(xiàn)一次最大．根據(jù)萬有引力定律，天文學家預言形成這種現(xiàn)象的原因可能是天王星外側還存在著一顆未知的行星即海王星（假設其運動軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對天王星的萬有引力引起天王星軌道的偏離，由此可推測海王星的運動軌道半徑是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 A行星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間兩行星相距最近，可以求出B的周期，再根據(jù)萬有引力提供向心力，得出軌道半徑．

解答 解：周期每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間A、未知行星相距最近，
即每隔t₀時間A行星比未知行星多運行一圈．有：$\frac{2π}{{T}_{0}}{t}_{0}-\frac{2π}{{T}_{B}}{t}_{0}=2π$，
則${T}_{B}=\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$
根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以$\frac{{r}_{B}}{{R}_{0}}=\root{3}{\frac{{{T}_{B}}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}}$，
則${r}_{B}={R}_{0}\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}$．
故選：C．

點評 解決本題的關鍵知道每隔t₀時間發(fā)生一次最大偏離，知每隔t₀時間A、B兩行星相距最近，而得出每隔t₀時間A行星比未知行星多運行一圈．以及掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用．