Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)平面的第I象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，直線OA是磁場右側(cè)的邊界．在第Ⅱ象限區(qū)域，存在電場強(qiáng)度大小為E的水平向左的勻強(qiáng)電場，y軸是電場、磁場區(qū)域的分界線曲線，OM滿足方程x=-ky²（k＞0）．有一帶電荷量為q、質(zhì)量為m的負(fù)粒子（重力不計(jì)）在曲線OM上某一點(diǎn)由靜止釋放，穿越y(tǒng)軸進(jìn)入磁場中．
（1）求帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式；
（2）若粒子從OM上任何位置釋放，要求粒子穿過磁場區(qū)域后，都垂直于x軸射出求直線OA與x軸的夾角正切值tanθ（用題中已知物理量的符號表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合OM滿足方程x=-ky²（k＞0）求出帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式．
（2）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉(zhuǎn)90°，從而得知粒子射出磁場的點(diǎn)的x坐標(biāo)值為圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r，縱坐標(biāo)為y-r，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合r與速度的關(guān)系，求出直線OA與x軸的夾角正切值tanθ．

解答：解：（1）設(shè)粒子釋放點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則粒子受電場力作用作勻加速直線運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸，由動(dòng)能定理得，
qE（-x）=

1

2

mv2
又x=-ky²（k＞0）．
聯(lián)立解得v=

2qEk m

?y，即速度v與縱坐標(biāo)成正比．
（2）入射點(diǎn)為y坐標(biāo)的粒子，其速率為v=by，b=

2qEk m

，進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，有：
qvB=m

v2

r

得r=

mv

qB

=

mby

qB

最后粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉(zhuǎn)90°
所以粒子射出磁場的點(diǎn)的x坐標(biāo)值為r
由幾何關(guān)系可得，OA直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（r，y-r）
則tanθ=

y-r

r

=

qB

mb

-1=B

q 2kmE

-1．
答：（1）帶電粒子穿越y(tǒng)軸時(shí)的速度與釋放點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式為v=

2qEk m

?y．
（2）直線OA與x軸的夾角正切值tanθ=B

q 2kmE

-1．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系進(jìn)行求解．