Question

16．跳傘運(yùn)動員從h=2000m的高空跳下，開始下落過程中未打開降落傘，假設(shè)初速度為零，所受的空氣阻力與下落速度的大小成正比，最大降落速度v_m=50m/s．運(yùn)動員下降h₁=1800m時才打開降落傘，在t₂=2s內(nèi)速度均勻減小到v₁=5.0m/s，然后勻速落到地面，求運(yùn)動員在空中運(yùn)動的總時間t．

Answer 1

分析 整個過程中，運(yùn)動員先做變加速運(yùn)動，接著勻減速，最后勻速運(yùn)動，作出v-t圖線如圖（1）所示．由于第一段內(nèi) 做非勻變速直線運(yùn)動，用常規(guī)方法很難求得這1800m位移內(nèi)的運(yùn)動時間．考慮動量定理，將第一段的v-t圖線按比例轉(zhuǎn)化成f-t圖，如圖（2）所示，則可巧妙地求得變加速運(yùn)動的時間．根據(jù)勻變速運(yùn)動的規(guī)律求出勻減速運(yùn)動的位移，得到勻速運(yùn)動的位移，求得勻速運(yùn)動的時間，即可求得總時間．

解答 解：設(shè)變加速下落的時間為t₁，作出運(yùn)動員的v-t圖象，取向下為正方向，則由動量定理得：
   mgt₁-I_f=mv_m
而  I_f=∑f•△t=∑kv•△t=k∑v•△t=kh₁
又mg=kv_m，得k=$\frac{mg}{{v}_{m}}$，所以可得
 mgt₁-$\frac{mg{h}_{1}}{{v}_{m}}$=mv_m
得${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{g}+\frac{{h}_{1}}{{v}_{m}}$=$\frac{50}{10}+\frac{1800}{50}s=41s$．
第二段勻減速運(yùn)動的2s時間內(nèi)，位移為 ${h}_{2}=\frac{{v}_{m}+{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{50+5}{2}×2m=55m$，
所以勻速運(yùn)動的位移為 h₃=200-h₂=200-55=145m，
勻速運(yùn)動的時間${t}_{3}=\frac{{h}_{3}}{{v}_{1}}=\frac{145}{5}s=29s$，
則總時間t=t₁+t₂+t₃=41+2+29s=72s．
答：運(yùn)動員在空中運(yùn)動的總時間t為72s．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道運(yùn)動員在整個過程中的運(yùn)動情況，結(jié)合動量定理，通過圖象法，運(yùn)用微分思想進(jìn)行解決，難度較大．