Question

17．有一宇宙飛船，以速度v接近某行星表面勻速飛行，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得（　　）

• A． 該行星的半徑為$\frac{vT}{2π}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． 該行星的質(zhì)量為$\frac{{4{π^2}v}}{{G{T^2}}}$
• D． 該行星表面的重力加速度為$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根據(jù)線速度與周期的關(guān)系求出行星的半徑；根據(jù)萬有引力提供向心力求出行星的質(zhì)量，結(jié)合行星的體積求出行星的平均密度；根據(jù)行星的半徑和行星質(zhì)量的表達式求出行星的質(zhì)量．根據(jù)萬有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：A、根據(jù)T=$\frac{2πR}{v}$知，行星的半徑R=$\frac{vT}{2π}$，故A正確．
B、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，則行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故B正確．
C、由B選項知，行星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，R=$\frac{vT}{2π}$，解得M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故C錯誤．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•\frac{vT}{2π}=\frac{2πv}{T}$，故D正確．
故選：ABD．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．