Question

8．如圖所示，傾角 θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個輪半徑和質(zhì)量不計的光滑定滑輪 D，質(zhì)量均為m=1kg 的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240N/m 的輕彈簧連接，物體 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板 P 擋�。�用一不可伸長的輕繩使物體 A 跨過定滑輪與質(zhì)量為 M 的小環(huán) C 連接，小環(huán) C 穿過豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個系統(tǒng)靜止時，環(huán) C 位 于 Q 處，繩與細(xì)桿的夾角 α=53°，且物體 B 對擋板 P 的壓力恰好為零．圖中 SD 水平且長度 為 d=0.2m，位置 R 與位置 Q 關(guān)于位置 S 對稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行．現(xiàn) 讓環(huán) C 從位置 R 由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：
（1）小環(huán) C 的質(zhì)量 M；
（2）小環(huán) C 通過位置 S 時的動能 E_k及環(huán)從位置 R 運動到位置 S 的過程中輕繩對環(huán)做的功 W_T；
（3）小環(huán) C 運動到位置 Q 的速率 v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個物體與彈簧組成一個系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對象進(jìn)行受力分析，即可求出C的質(zhì)量；
（2）由幾何關(guān)系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據(jù)機械能守恒定律求出C的速度、動能；由動能定理求出輕繩對環(huán)做的功W_T；
（3）由機械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：

T•cos53°=Mg
代入數(shù)據(jù)得：M=0.72kg
（2）由題意，開始時B恰好對擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；產(chǎn)生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量：△x₁=$\frac{mgsinθ}{k}$=0.025m
當(dāng)小環(huán) C 通過位置 S 時A下降的距離為：${x}_{A}=\fracg0so4mo{sinα}-d=0.05m$
此時彈簧的壓縮量為：△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此時A的速度為零，所以小環(huán)C從R運動到S的過程中，初末態(tài)的彈性勢能相等，對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒有：
Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入數(shù)據(jù)解得：E_k=1.38J
環(huán)從位置 R 運動到位置 S 的過程中，由動能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入數(shù)據(jù)解得：W_T=0.3J
（3）環(huán)從位置 R 運動到位置 Q 的過程中，對于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒
 $Mg•（2dcotα）=\frac{1}{2}M{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     
對環(huán)在Q點的速度進(jìn)行分解如下圖，則：v_A=vcosα

兩式聯(lián)立可得：v=2m/s
答：（1）小環(huán)C的質(zhì)量是0.72kg；
（2）小環(huán)C通過位置S時的動能E_k是1.38J，環(huán)從位置R運動到位置S的過程中輕繩對環(huán)做的功是0.3J；
（3）小環(huán)C運動到位置Q的速率是2m/s

點評 本題考查動能定理以及功能關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于第二問，要注意在解答的過程中一定要先得出彈簧的彈性勢能沒有變化的結(jié)論，否則解答的過程不能算是完整的．