Question

8．如圖所示，水平軌道與豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道平滑連接，半圓形軌道的半徑R=0.40m．一輕質(zhì)彈簧的左端固定在墻M上，右端連接一個(gè)質(zhì)量m=0.20kg的小滑塊．開始時(shí)滑塊靜止在P點(diǎn)，彈簧正好處于原長．現(xiàn)水平向左推滑塊壓縮彈簧，使彈簧具有一定的彈性勢能E_p，然后釋放滑塊，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)的速度v_A=3.0m/s．已知水平軌道MP部分是光滑的，滑塊與水平軌道PB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，PB=2.0m，取g=10m/s²．求：
（1）滑塊在圓弧軌道起點(diǎn)B的速度v_B．
（2）滑塊由A點(diǎn)拋出后，落地點(diǎn)與A點(diǎn)間的水平距離x．
（3）若要求滑塊過圓弧軌道最高點(diǎn)A后，落在水平面PB段且最遠(yuǎn)不超過P點(diǎn)，求彈簧處于壓縮狀態(tài)時(shí)具有的彈性勢能E_p的范圍．

Answer 1

分析 （1）滑塊從B運(yùn)動(dòng)到A的過程，滿足機(jī)械能守恒，由此求解速度v_B．
（2）滑塊從A點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得水平距離x．
（3）當(dāng)滑塊經(jīng)過圓軌道時(shí)，剛好通過最高點(diǎn)A時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律A點(diǎn)的最小速度，從而得到彈性勢能E_p的最小值．當(dāng)滑塊落在P點(diǎn)時(shí)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出滑塊通過A點(diǎn)的速度，由能量守恒求出彈性勢能E_p的最大值，即得到彈性勢能E_p的范圍．

解答 解：（1）對滑塊，由B到A過程，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=5 m/s  
（2）滑塊從A點(diǎn)拋出后，滿足：
水平方向：x=v_At
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：x=1.2 m   
（3）①當(dāng)滑塊經(jīng)過圓軌道時(shí)，剛好通過最高點(diǎn)A，在A點(diǎn) 由牛頓第二定律由：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得最小速度為：v₁=2 m/s   
過A點(diǎn)后，做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
x₁=v₁t，
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得，落地時(shí)間為：t=0.4 s
最小位移為：x₁=0.8 m＜1.2 m   
對于全程，由功能關(guān)系得：
-μmgL=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-E_p1
代入數(shù)據(jù)，得彈簧彈性勢能最小值為：E_p1=3 J 
②當(dāng)滑塊過A點(diǎn)后，做平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t=0.4 s不變，
落地點(diǎn)在最遠(yuǎn)位置P點(diǎn)  x₂=v₂t
帶入數(shù)據(jù)得 v₂=5 m/s  
對于全程，由功能關(guān)系得
-μmgL=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-E_p2
代入數(shù)據(jù)，得彈簧彈性勢能最大值  E_p2=5.1 J   
所以，彈簧的彈性勢能范圍為：3 J≤E_p≤5.1 J    
答：（1）滑塊在圓弧軌道起點(diǎn)B的速度v_B為5m/s．
（2）滑塊由A點(diǎn)拋出后，落地點(diǎn)與A點(diǎn)間的水平距離x是1.2m．
（3）彈簧處于壓縮狀態(tài)時(shí)具有的彈性勢能E_p的范圍為3 J≤E_p≤5.1J．

點(diǎn)評 本題考查平拋、動(dòng)能定理及功能關(guān)系，要注意正確分析物理過程，并做好受力分析，明確能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系，選擇正確的物理規(guī)律求解即可．