Question

6．“嫦娥一號”成功實現(xiàn)了繞月飛行，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，則月球密度與地球密度之比以及月球第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比分別是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$和$\frac{1}{24}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{2}{3}$和$\frac{1}{12}$
• D． $\frac{2}{3}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Answer 1

分析 在天體表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，根據(jù)密度定義表示出密度公式，再通過已知量進行比較．
根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期和第一宇宙速度，再通過已知量進行比較．

解答 解：在天體表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，所以GM=gR²，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，所以地球的質(zhì)量與月球的質(zhì)量之間的關(guān)系為：
$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}•{（\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}）}^{2}$
根據(jù)：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，GM=gR²，所以ρ=$\frac{3g}{4πR}$
地球的平均密度與月球的平均密度之比為：$\frac{{ρ}_{月}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}=\frac{1}{6}×\frac{4}{1}=\frac{2}{3}$；
忽略地球的自轉(zhuǎn)則有萬有引力等于物體的重力，當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面圓周運動運動時有：
 mg_地=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}}$
解得：v₁=$\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}$
同理當(dāng)?shù)窃屡撛谠虑虮砻孀鲌A周運動時，有：
 mg_月=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{月}}$
解得：v₂=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}$
故$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}}{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
所以選項D正確，ABC錯誤．
故選：D

點評 求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．
當(dāng)不知道中心天體的質(zhì)量和萬有引力常量G，并知道中心天體表面的重力加速度g的時候要用黃金代換公式G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg求出GM=gr²．這是我們常用的一個技巧和方法要注意掌握．