Question

6．如圖所示，直線y=x與y軸之間有垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，直線x=d與y=x間有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.0×10⁴V/m，另有一半徑R=1.0m的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.20T，方向垂直坐標(biāo)平面向外，該圓與直線x=d和x軸均相切，且與x軸相切于S點(diǎn)．一帶負(fù)電的粒子從S沿y軸的正方向以速度v₀進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域B₁時(shí)的速度方向與直線y=x垂直．粒子速度大小v₀=1.0×10⁵m/s，粒子的比荷為$\frac{q}{m}$=5.0×10⁵C/kg，粒子重力不計(jì)，求：
（1）坐標(biāo)d的值；
（2）要使粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁應(yīng)滿足的條件；
（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，粒子從開始進(jìn)入圓形磁場(chǎng)至第二次到達(dá)直線y=x上的最長(zhǎng)時(shí)間．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出在${B}_{2}^{\;}$磁場(chǎng)中的軌道半徑，進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平和豎直位移，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出坐標(biāo)d的值；
（2）粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸負(fù)半軸，有兩種情景，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式和幾何關(guān)系即可求解B₁應(yīng)滿足的條件；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，在${B}_{1}^{\;}$磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半圈到達(dá)y=x，求出磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間即可

解答 解：（1）由帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)可得：
$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$   ①
解得：r=1m
粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)以后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平方向的位移為x，豎直方向的位移為y．
水平方向：$x={v}_{0}^{\;}t$        ②
豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$     ③
$a=\frac{qE}{m}$      ④
$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}tan45°=\frac{1}{2}$     ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得：
x=2m，y=1m    ⑥
由圖示幾何關(guān)系得：
d=x+y+R=4m    ⑦
（2）可使粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x負(fù)半軸
（a）設(shè)當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為${B}_{1}^{′}$時(shí)，粒子垂直打在y軸上，粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)半徑為${r}_{1}^{\;}$，由如圖所示幾何關(guān)系得：
${r}_{1}^{\;}=\sqrt{2}d-\sqrt{2}x$    ⑧
解得：${r}_{1}^{\;}$=$\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{1}^{′}}$=$2\sqrt{2}m$   ⑨
${B}_{1}^{′}=0.1T$      ⑩
故${B}_{1}^{\;}≤0.1T$⑪
（b）設(shè)當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為${B}_{1}^{″}$時(shí)，粒子從電場(chǎng)垂直邊界進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，軌跡與y軸相切，此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為${r}_{2}^{\;}$，由如圖所示幾何關(guān)系得：
${r}_{2}^{\;}+{r}_{2}^{\;}cos45°+x=d$⑫
解得：${r}_{2}^{\;}=\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q{B}_{1}^{″}}=（4-2\sqrt{2}）m$⑬
${B}_{1}^{″}=0.24T$       則${B}_{1}^{\;}≥0.24T$⑭
（3）設(shè)粒子在${B}_{2}^{\;}$中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{1}^{\;}$，電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{2}^{\;}$，磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$運(yùn)動(dòng)時(shí)間為${t}_{3}^{\;}$
則：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$\frac{{T}_{1}^{\;}}{4}+\frac{x}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{{T}_{2}^{\;}}{2}$=$\frac{1}{4}×\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}+\frac{x}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$=$6.2×1{0}_{\;}^{-3}s$
答：（1）坐標(biāo)d的值為4m；
（2）要使粒子無(wú)法運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁應(yīng)滿足的條件${B}_{1}^{\;}≤0.1T$或${B}_{1}^{\;}≥0.24T$；
（3）在（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上，粒子從開始進(jìn)入圓形磁場(chǎng)至第二次到達(dá)直線y=x上的最長(zhǎng)時(shí)間$6.2×1{0}_{\;}^{-3}s$

點(diǎn)評(píng) 本題考查粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高，能夠找出問(wèn)題的臨界情況是解決本題的關(guān)鍵．