Question

4．有一塊半徑為R=60cm的均勻薄木板，現(xiàn)在從圓板上挖出一個(gè)半徑為r=30cm的內(nèi)切薄圓板，如圖所示，則剩余部分的重心與大圓心的距離是10cm．

Answer 1

分析 設(shè)金屬片厚為h，密度為ρ，假設(shè)剩余部分的重心還在O點(diǎn)不變，則必須在大圓上的對(duì)稱位置再挖去一個(gè)與原來等大的小圓孔，由于左邊挖去一個(gè)半徑為30的小圓孔，必須在它的對(duì)應(yīng)位置（左邊）填上一個(gè)半徑為30的小圓孔，再設(shè)挖空后的圓片的重心在C點(diǎn)，經(jīng)過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點(diǎn)的杠桿，如圖丙，由杠桿平衡的條件可得：G′O₂O=GOC，求出OC的長(zhǎng)即可．

解答 解：①設(shè)金屬片厚為h，密度為ρ，（如圖甲）
假設(shè)剩余部分的重心還在O點(diǎn)不變，則必須在大圓上的對(duì)稱位置再挖去一個(gè)與原來等大的小圓孔，
則剩下的部分重力為：G=πR²hρg-2π•（$\frac{R}{2}$）²Hρg=$\frac{1}{2}$πR²ρg=450πhρg，
②（如圖乙）
由于左邊挖去一個(gè)半徑為15的小圓孔，必須在它的對(duì)應(yīng)位置（左邊）填上一個(gè)半徑為15的小圓孔，
則它的重力為：G′=π（$\frac{R}{2}$）²hρg=225πhρg，重心在O₂上，且OO₂=30，
設(shè)挖空后的圓片的重心在C點(diǎn)，經(jīng)過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點(diǎn)的杠桿，
如圖丙，由杠桿平衡的條件可得：G′O₂C=GOC，
即：225πhρg•（30-OC）=450πhρgOC，
解得：OC=10cm．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的圓的綜合題目，用得到的知識(shí)點(diǎn)有重心的性質(zhì)、重力公式以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法經(jīng)過一“挖”一“填”，再將①和②綜合在一起，就等效于以C為支點(diǎn)的杠桿．