Question

9．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從H=12m高處，由靜止開始沿光滑弧形軌道AB滑下，接著進(jìn)入半徑R=4m的粗糙豎直圓環(huán)，當(dāng)?shù)竭_(dá)環(huán)頂C時(shí)，剛好對軌道壓力為零，小球沿左半環(huán)CB滑下后，再進(jìn)入光滑弧形軌道BD，且到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度為零，g取10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 在由A到D的過程中，小球的機(jī)械能守恒
• B． D點(diǎn)離地面的高度是8m
• C． 小球第一次過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小是35N
• D． 小球從B到C的過程中克服阻力做的功是10J

Answer 1

分析 當(dāng)小球到達(dá)環(huán)頂C時(shí)，剛好對軌道壓力為零，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度，得到其機(jī)械能，再與小球在A點(diǎn)的機(jī)械能比較，分析小球的機(jī)械能是否守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球第一次過B點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球?qū)�軌道的壓力．由�?dòng)能定理求解小球從B到C的過程中克服阻力做的功．

解答 解：A、當(dāng)小球到達(dá)環(huán)頂C時(shí)，剛好對軌道壓力為零，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得v_C=$\sqrt{gR}$．
以B點(diǎn)所在水平面為參考平面，則小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能為 E_C=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{5}{2}$mgR=$\frac{5}{2}$×0.5×10×4J=50J，小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能為E_A=mgH=60J．可見，在由A到D的過程中，小球的機(jī)械能不守恒．故A錯(cuò)誤．
B、設(shè)D點(diǎn)離地面的高度是h，從C到D的過程中，由功能關(guān)系得：mgh＜E_C，解得 h＜10m．由于到達(dá)C點(diǎn)的速度要大于零，應(yīng)有 h＞2R=8m，所以有 8m＜h＜10m，故B錯(cuò)誤．
C、對于A到B過程，由機(jī)械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$得，v_B=$\sqrt{2gH}$．在B點(diǎn)，由牛頓第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，代入解得，N=35N，則小球第一次過B點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力大小是35N．故C正確．
D、對于B到C過程，由動(dòng)能定理得：-mg•2R-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，代入解得：W_f=10J，即小球從B到C的過程中克服阻力做的功是10J．故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評 本題是隱含的臨界問題，當(dāng)小球恰好到達(dá)環(huán)頂C時(shí)，由重力提供向心力．要阻力是變力，應(yīng)用動(dòng)能定理求解克服阻力做功．