Question

20．在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應(yīng)的曲線方程為y=2.5cos（kx+$\frac{2}{3}π$）（單位：m），式中k=1m^-1．將一光滑小環(huán)套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀的初速度沿桿向下運(yùn)動，取重力加速度g=10m/s²．則當(dāng)小環(huán)x軸方向運(yùn)動的距離大于2π（m），則v₀必須滿足的條件是（　�。�

• A． v₀≥5$\sqrt{3}$m/s
• B． v₀≥0
• C． v₀＞5m/s
• D． v₀＞5$\sqrt{2}$m/s

Answer 1

分析 對小環(huán)進(jìn)行受力分析，小環(huán)受重力和金屬桿對小環(huán)的彈力．由于環(huán)是光滑小環(huán)，彈力對小環(huán)不做功，所以小環(huán)運(yùn)動過程中只有重力做功，小環(huán)運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒．由機(jī)械能守恒定律求解小環(huán)的速度．

解答 解：對小環(huán)進(jìn)行受力分析，小環(huán)受重力和金屬桿對小環(huán)的彈力，金屬桿對小環(huán)的彈力與小環(huán)的速度方向始終垂直，所以金屬桿對小環(huán)不做功．
x=0時：${y}_{1}=2.5cos\frac{2}{3}π=-1.25$m
由于y=2.5cos（kx+$\frac{2}{3}π$）（單位：m）中k=1m^-1
當(dāng)小環(huán)x軸方向運(yùn)動的距離大于2π（m），說明小球能夠通過最高點(diǎn)，即小球通過最高點(diǎn)時的速度大于等于0，所以根據(jù)機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mg{y}_{1}≥mg{h}_{m}$，h_m=2.5m，
代入解得，v₀≥5$\sqrt{3}$m．
故選：A

點(diǎn)評 本題的背景比較復(fù)雜，是非常規(guī)問題，實(shí)際上就是一個是光滑軌道物體機(jī)械能守恒的問題，屬于高起點(diǎn)，低落點(diǎn)的類型．