Question

2．設(shè)想探測火星時(shí)，載著登陸艙的探測飛船在以火星中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T₁，登陸艙和探測飛船的總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m₂則（　　）

• A． 火星的質(zhì)量為$M=\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• B． 火星表面的重力加速度為$g'=\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$
• C． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{{{m_1}{r_2}}}{{{m_2}{r_1}}}}$
• D． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為${T_2}=\frac{{r_2^{\;}}}{{r_1^{\;}}}{T_1}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出星球的質(zhì)量，通過萬有引力提供向心力，得出線速度、周期與軌道半徑的關(guān)系，從而求出線速度大小之比以及登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：A、根據(jù)G$\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．故A正確．
B、由于火星的半徑未知，則無法求出星球表面的重力加速度．故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，則$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$．故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，則$\frac{{T}_{1}}{T{\;}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r_1}^3}}{{{r_2}^3}}}$．故D錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評 本題主要抓住萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力并由此根據(jù)半徑關(guān)系判定描述圓周運(yùn)動(dòng)物理量的大小關(guān)系，掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用．