Question

16．如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長(zhǎng)l=6.5R，板右端到C點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g已知．
（1）求物塊滑到A點(diǎn)的速度大小；
（2）求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)軌道所受的壓力大小；
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）物塊滑到B點(diǎn)經(jīng)過(guò)了兩個(gè)過(guò)程，先是在傳送帶上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求A點(diǎn)速度；
（2）A到B的過(guò)程機(jī)械能守恒可求B點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求的作用力．
（2）首先由動(dòng)量守恒、動(dòng)能定理判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊有沒(méi)有離開(kāi)滑板；再由物塊在C點(diǎn)的速度用機(jī)械能守恒判斷能否到達(dá)CD軌道的中點(diǎn)

解答 解：（1）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到A和B點(diǎn)的速度分別為v₁、v₂，由動(dòng)能定理得：
$μmgs=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{5gR}$
（2）從A到B由機(jī)械能守恒定律：$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{2}=3\sqrt{gR}$
在B點(diǎn)由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{2}^{2}}{R}$
解得：F_N=10mg
由牛頓第三定律求的對(duì)軌道的壓力為10mg
（3）設(shè)滑板與物塊達(dá)到共同速度v₃時(shí)，位移分別為l₁、l₂，由動(dòng)量守恒定律有：mv₂=（m+M）v₃
由動(dòng)能定理得：$μmg{l}_{1}=\frac{1}{2}{Mv}_{3}^{2}$
$-μmg{l}_{2}=\frac{1}{2}{mv}_{3}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得：l₁=2R　　　l₂=8R
物塊相對(duì)滑板的位移為：△l=l₂-l₁ △l＜l
即物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板，物塊滑到滑板右端時(shí)，
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）
${W}_{f}=\frac{1}{4}mg（13R+2L）$
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）
${W}_{f}=\frac{17}{4}mgR$
設(shè)物塊滑到C點(diǎn)的動(dòng)能為E_k，
由動(dòng)能定理有：$-{W}_{f}={E}_{k}-\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$
L最小時(shí)，克服摩擦力做功最小，因?yàn)長(zhǎng)＞R，
聯(lián)立可確定E_k小于mgR，則物塊不能滑到CD軌道中點(diǎn)．
答：（1）求物塊滑到A點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)軌道所受的壓力大小為10mg；
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)右端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題