Question

17．如圖所示，金屬導(dǎo)軌MNC和PQD，MN與PQ平行且間距為L，所在平面與水平面夾角為α，N、Q連線與MN垂直，M、P間接有阻值為R的電阻；光滑直導(dǎo)軌NC和QD在同一水平面內(nèi)，與NQ的夾角都為銳角θ．均勻金屬棒ab和ef質(zhì)量均為m，長均為L，ab棒初始位置在水平導(dǎo)軌上與NQ重合；ef棒垂直放在傾斜導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ較�。�，由導(dǎo)軌上的小立柱1和2阻擋而靜止．空間有方向豎直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）．兩金屬棒與導(dǎo)軌保持良好接觸．不計(jì)所有導(dǎo)軌和ab棒的電阻，ef棒的阻值為R，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，忽略感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，重力加速度為g．
（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，給ab棒一個(gè)垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平導(dǎo)軌上沿運(yùn)動(dòng)方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，求此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，求通過ab棒某橫截面的電荷量；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導(dǎo)軌上向右勻速運(yùn)動(dòng)，并在NQ位置時(shí)取走小立柱1和2，且運(yùn)動(dòng)過程中ef棒始終靜止．求此狀態(tài)下最強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及此磁場(chǎng)下ab棒運(yùn)動(dòng)的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)能量的守恒，計(jì)算ef棒上產(chǎn)生的熱量；
（2）根據(jù)楞次定律和歐姆定律計(jì)算通過ab棒某橫截面的電量；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算電動(dòng)勢(shì)的大小，根據(jù)棒的受力計(jì)算最強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及此磁場(chǎng)下ab棒運(yùn)動(dòng)的最大距離．

解答 解：（1）設(shè)ab棒的初動(dòng)能為E_k，ef棒和電阻R在此過程產(chǎn)生的熱量分別為W和W₁，
有W+W₁=E_k…①
且W=W₁…②
由題有E_k=$\frac{1}{2}$mv₁²…③
得W=$\frac{1}{4}$mv₁²…④
（2）設(shè)在題設(shè)過程中，ab棒滑行時(shí)間為△t，掃過的導(dǎo)軌間的面積為△S，通過△S的磁通量為△Φ，ab棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)平均值為E，ab棒中的平均電流為I，通過ab棒某橫截面的電荷量為q，則有：
E=$\frac{△Φ}{△t}$…⑤
且△Φ=B△S…⑥
I=$\frac{q}{△t}$…⑦

又有I=$\frac{2E}{R}$…⑧
由圖1所示△S=d（L-dcotθ）…⑨
聯(lián)立⑤～⑨，解得：q=$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$…⑩
（3）ab棒滑行距離為x時(shí)，ab棒在導(dǎo)軌間的棒長L_x=L-2xcotθ⑪
此時(shí)，ab棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E_x=Bv₂L_x…⑫
流過ef棒的電流I_x=$\frac{Ex}{R}$…⑬
ef棒所受安培力F_x=BI_xL…⑭
聯(lián)立⑪～⑭，解得F_x=$\frac{B2v2L}{R}$（L-2xcotθ）…⑮

由⑮式可得，F(xiàn)_x在x=0和B為最大值B_m時(shí)有最大值F₁．
由題知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F₁為最大值的受力分析如圖2所示，圖中f_m為最大靜摩擦力，有
F₁cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F₁sinα）…⑯
聯(lián)立⑮⑯，得B_m=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（sinα+μcosα）R}{（cosα-μsinα）{v}_{2}^{\;}}}$…⑰
⑰式就是題目所求最強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，該磁場(chǎng)方向可豎直向上，也可豎直向下．

由⑮式可知，B為B_m時(shí)，F(xiàn)_x隨x增大而減小，x為最大x_m時(shí)，F(xiàn)_x為最小值F₂，如圖3可知
F₂cosα+μ（mgcosα+F₂sinα）=mgsinα…⑱
聯(lián)立⑮⑰⑱，得：x_m=$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$…⑲
答：（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，給ab棒一個(gè)垂直于NQ，水平向右的速度v₁，在水平導(dǎo)軌上沿運(yùn)動(dòng)方向滑行一段距離后停止，ef棒始終靜止，此過程ef棒上產(chǎn)生的熱量$\frac{1}{4}m{v}_{1}^{2}$；
（2）在（1）問過程中，ab棒滑行距離為d，通過ab棒某橫截面的電荷量$\frac{2Bd（L-dcotθ）}{R}$；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平導(dǎo)軌上向右勻速運(yùn)動(dòng)，并在NQ位置時(shí)取走小立柱1和2，且運(yùn)動(dòng)過程中ef棒始終靜止．求此狀態(tài)下最強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度及此磁場(chǎng)下ab棒運(yùn)動(dòng)的最大距離$\frac{μLtanθ}{（1+{μ}_{\;}^{2}）sinαcosα+μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律的考查，解決本題的關(guān)鍵是分析清楚棒的受力的情況，找出磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系式是本題的重點(diǎn)．