Question

9．如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ=30°角放置，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.00T的勻強(qiáng)磁場垂直穿過導(dǎo)軌平面，導(dǎo)軌上端M與P間連接阻值為R=0.30Ω的電阻，長L=0.40m、電阻r=0.10Ω的金屬棒ab與MP等寬緊貼在導(dǎo)軌上，現(xiàn)使金屬棒ab由靜止開始下滑，其下滑距離與時(shí)間的關(guān)系如表所示，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g=10m/s²，求：

時(shí)間t（s）	0	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
下滑距離x（m）	0	0.04	0.10	0.17	0.27	0.37	0.47	0.57

（1）在0-0.4s時(shí)間內(nèi)，通過金屬棒ab截面的電荷量q．
（2）金屬棒ab的質(zhì)量m．
（3）在0-0.7s時(shí)間內(nèi)，整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求出感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值，由電量與電流的關(guān)系式q=$\overline{I}$△t求解在0.4s時(shí)間內(nèi)，通過金屬棒ab截面的電荷量q．
（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可知，勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度，結(jié)合安培力的表達(dá)式，閉合電路歐姆定律與感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式，即可求解金屬棒的質(zhì)量；
（3）根據(jù)棒在下滑過程中，克服安培力做的功等于回路的焦耳熱，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，即可求解在0.7s時(shí)間內(nèi)，整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：
感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值  $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$
感應(yīng)電流的平均值  $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
電荷量 q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLx}{R+r}$
由表中數(shù)據(jù)可知  x=0.27m
聯(lián)立解得 q=$\frac{1×0.4×0.27}{0.3+0.1}$C=0.27C；
（2）由表中數(shù)據(jù)可知，0.3s后棒作勻速運(yùn)動(dòng)的速度為：
  v=$\frac{△x}{△t}$=$\frac{0.1}{0.1}$=1m/s
由平衡條件得：mgsinθ-F=0；
安培力表達(dá)式：F=BIL；
由閉合電路歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$；
感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=BLv；
聯(lián)立得，m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{（R+r）gsinθ}$=$\frac{{1}^{2}×0．{4}^{2}×1}{0.4×10×sin30°}$kg=0.08kg；
（3）棒在下滑過程中，有重力和安培力做功，克服安培力做的功等于回路的焦耳熱．則：
  mgsin30°•x₇-Q=$\frac{1}{2}$mv²-0
得：Q=mgsin30°•x₇-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=0.08×10×0.57×0.5-$\frac{1}{2}$×0.08×1²=0.188J
答：（1）在0.4s時(shí)間內(nèi)，通過金屬棒ab截面的電荷量為0.27C．
（2）金屬棒的質(zhì)量為0.08kg．
（3）在0.7s時(shí)間內(nèi)，整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量為0.188J．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)中的力平衡問題，關(guān)鍵在于推導(dǎo)感應(yīng)電荷量和安培力的計(jì)算式．并能讀懂表格反映的運(yùn)動(dòng)情況．