Question

3．如圖所示，水平平臺(tái)上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)，平臺(tái)AB段光滑，BC段長(zhǎng)x=1m，與滑塊間的摩擦因數(shù)為μ₁=0.25．平臺(tái)右端與水平傳送帶相接于C點(diǎn)，傳送帶的運(yùn)行速度v=7m/s，長(zhǎng)為L(zhǎng)=3m，傳送帶右端D點(diǎn)與一光滑斜面銜接，斜面長(zhǎng)度s=0.5m，另有一固定豎直放置的光滑圓弧形軌道剛好在E點(diǎn)與斜面相切，圓弧形軌道半徑R=1m，θ=37°．今將一質(zhì)量m=2kg的滑塊向左壓縮輕彈簧，然后突然釋放，當(dāng)滑塊滑到傳送帶右端D點(diǎn)時(shí)，恰好與傳送帶速度相同，并經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的拐角處無(wú)機(jī)械能損失．重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不計(jì)空氣阻力．試求：

（1）若開(kāi)始彈簧的彈性勢(shì)能為E_p=30J，求滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度v_C；
（2）求滑塊與傳送帶間的摩擦因數(shù)μ₂；
（3）若傳送帶的運(yùn)行速度可調(diào)，要使滑塊不脫離圓弧形軌道，求傳送帶的速度范圍．

Answer 1

分析 （1）以滑塊為研究對(duì)象，從釋放到C點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度v_C；
（2）滑塊從C點(diǎn)到D點(diǎn)一直加速，到D點(diǎn)恰好與傳送帶同速，對(duì)此過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出滑塊與傳送帶間的摩擦因數(shù)μ₂；
（3）要使滑塊不脫離圓弧形軌道，有兩種情況：一種滑塊能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．另一種在O點(diǎn)及O點(diǎn)以下圓弧上運(yùn)動(dòng)．根據(jù)臨界條件和動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）以滑塊為研究對(duì)象，從釋放到C點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
 ${E_p}-{μ_1}mgx=\frac{1}{2}mv_C^2$
代入數(shù)據(jù)得：v_C=5m/s
（2）滑塊從C點(diǎn)到D點(diǎn)一直加速，到D點(diǎn)恰好與傳送帶同速，由動(dòng)能定理得：
${μ_2}mgL=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_C^2$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.4
（3）斜面高度為：
h=s•sinθ=0.3m
（Ⅰ）設(shè)滑塊在D點(diǎn)的速度為v_D1時(shí)，恰好過(guò)圓弧最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
$mg=m\frac{v_1^2}{R}$
滑塊從D點(diǎn)到G點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
$-mg（Rcosθ-h+R）=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_{D1}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_{D1}}=2\sqrt{10}m/s$ 
（Ⅱ）設(shè)滑塊在D點(diǎn)的速度為v_D2時(shí)，恰好到$\frac{1}{4}$圓弧處速度為零，此過(guò)程由動(dòng)能定理得：
$-mg（Rcosθ-h）=0-\frac{1}{2}mv_{D2}^2$
代入數(shù)據(jù)解得：${v_{D2}}=\sqrt{10}m/s$
若滑塊在傳送帶上一直減速至D點(diǎn)恰好同速，則由動(dòng)能定理得：
$-{μ_2}mgL=\frac{1}{2}mv_{傳1}^2-\frac{1}{2}mv_c^2$
代入數(shù)據(jù)解得：v_傳1=1m/s，所以 $0≤{v_傳}≤\sqrt{10}m/s$
若滑塊在傳送帶上一直加速至D點(diǎn)恰好同速，由題目已知 v_傳2=7m/s
所以${v_傳}≥2\sqrt{10}m/s$．
答：（1）滑塊到達(dá)C點(diǎn)的速度v_C是5m/s．
（2）滑塊與傳送帶間的摩擦因數(shù)μ₂是0.4．
（3）若傳送帶的運(yùn)行速度可調(diào)，要使滑塊不脫離圓弧形軌道，傳送帶的速度范圍是0≤v_傳≤$\sqrt{10}$m/s或v_傳≥2$\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的基礎(chǔ)，關(guān)鍵要明確在涉及力在空間效果時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理是常用的方法．對(duì)于滑塊不脫離軌道的情況，考慮問(wèn)題要全面，不能漏解．