Question

13．地面上有一個(gè)半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺(tái)邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L(zhǎng)（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車(chē)，現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車(chē)中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）．問(wèn)：
（1）當(dāng)小車(chē)分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)（∠AOB=90°），沙袋被拋出時(shí)的初速度各為多大？
（2）若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的初速度在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）小車(chē)分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)，沙袋從P點(diǎn)開(kāi)始做的都是平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，可以求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）小車(chē)在A點(diǎn)時(shí)水平的位移最小，此時(shí)的初速度也是最小的，當(dāng)小車(chē)在B點(diǎn)時(shí)，水平的位移最大，此時(shí)的初速度是最大的，沙袋被拋出時(shí)的初速度應(yīng)該在AB兩點(diǎn)的初速度之間；

解答 解：（1）沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)它的落地時(shí)間為t，則
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$  ①
當(dāng)小車(chē)位于A點(diǎn)時(shí)，有
x_A=v_At=L-R    ②
解①②得v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
當(dāng)小車(chē)位于B點(diǎn)時(shí)，有
x_B=v_Bt=$\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}$   ③
解①③得v_B=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$
（2）若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，要使沙袋落入小車(chē)，最小的拋出速度為
v_0min=v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$  ④
若當(dāng)小車(chē)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)沙袋剛好落入，拋出時(shí)的初速度最大，有
x_c=v_0maxt=L+R    ⑤
解①⑤得 v_0max=（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
所以沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為
（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
答：（1）（1）當(dāng)小車(chē)靜止于B點(diǎn)時(shí)（∠AOB=90°），沙袋被拋出時(shí)的初速度v₁應(yīng)為$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$；
（2）若小車(chē)在跑道上運(yùn)動(dòng)，則沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$≤v₀≤（L+R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的考查，抓住運(yùn)動(dòng)中的位移、速度公式，學(xué)會(huì)對(duì)運(yùn)動(dòng)的分解，掌握幾何關(guān)系在題中的運(yùn)用．